在一次課題學(xué)習(xí)中活動中,老師提出了如下一個問題:
點P是正方形ABCD內(nèi)的一點,過點P畫直線l分別交正方形的兩邊于點M、N,使點P是線段MN的三等分點,這樣的直線能夠畫幾條?
經(jīng)過思考,甲同學(xué)給出如下畫法:
如圖1,過點P畫PE⊥AB于E,在EB上取點M,使EM=2EA,畫直線MP交AD于N,則直線MN就是符合條件的直線l.
根據(jù)以上信息,解決下列問題:
(1)甲同學(xué)的畫法是否正確?請說明理由;
(2)在圖1中,能否畫出符合題目條件的直線?如果能,請直接在圖1中畫出;
(3)如圖2,A1,C1分別是正方形ABCD的邊AB、CD上的三等分點,且A1C1∥AD.當(dāng)點P在線段A1C1上時,能否畫出符合題目條件的直線?如果能,可以畫出幾條?
(4)如圖3,正方形ABCD邊界上的A1,A2,B1,B2,C1,C2,D1,D2都是所在邊的三等分點.當(dāng)點P在正方形ABCD內(nèi)的不同位置時,試討論,符合題目條件的直線l的條數(shù)的情況.
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分析:(1)利用△MPE∽△MNA中的成比例線段可知EM=2EA,所以MP:MN=2:3,即點P是線段MN的一個三等分點;
(2)由(1)中的證明過程可知,在EB上取M1,使EM1=
1
2
AE,直線M1P就是滿足條件的直線,所以能畫出一條符合題目條件的直線;
(3)當(dāng)點P在線段A1C1上,根據(jù)正方形的性質(zhì)可知能夠畫出符合題目條件的直線有無數(shù)條;
(4)分情況討論.
解答:解:(1)甲同學(xué)的畫法正確;
∵PE∥AD,
∴△MPE∽△MNA,
MP
MN
=
ME
MA
,
∵EM=2EA,
∴MP:MN=2:3,
∴點P是線段MN的一個三等分點.
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(2)能畫出一個符合題目條件的直線,在EB上取M1,使EM1=
1
2
AE,直線M1P就是滿足條件的直線,圖2;

(3)若點P在線段A1C1上,能夠畫出符合題目條件的直線無數(shù)條,圖3;

(4)若點P在A1C1,A2C2,B1D1,B2D2上時,可以畫出無數(shù)條符合條件的直線l;
當(dāng)點P在正方形A0B0C0D0內(nèi)部時,不存在這樣的直線l,使得點P是線段MN的三等分點;
當(dāng)點P在矩形ABB1D1,CDD2B2,A0D0D2D1,B0B1B2C0內(nèi)部時,過點P可畫出兩條符合條件的直線l,使得點P是線段MN的三等分點.
點評:主要考查了正方形的性質(zhì)和復(fù)雜作圖的運用.掌握正方形的性質(zhì)并具備綜合分析的能力是解題的關(guān)鍵.
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點P是正方形ABCD內(nèi)的一點,過點P畫直線l分別交正方形的兩邊于點M、N,使點P是線段MN的三等分點,這樣的直線能夠畫幾條?
經(jīng)過思考,甲同學(xué)給出如下畫法:
如圖1,過點P畫PE⊥AB于E,在EB上取點M,使EM=2EA,畫直線MP交AD于N,則直線MN就是符合條件的直線l.
根據(jù)以上信息,解決下列問題:
(1)甲同學(xué)的畫法是否正確?請說明理由;
(2)在圖1中,能否畫出符合題目條件的直線?如果能,請直接在圖1中畫出;
(3)如圖2,A1,C1分別是正方形ABCD的邊AB、CD上的三等分點,且A1C1∥AD.當(dāng)點P在線段A1C1上時,能否畫出符合題目條件的直線?如果能,可以畫出幾條?
(4)如圖3,正方形ABCD邊界上的A1,A2,B1,B2,C1,C2,D1,D2都是所在邊的三等分點.當(dāng)點P在正方形ABCD內(nèi)的不同位置時,試討論,符合題目條件的直線l的條數(shù)的情況.

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如圖1,過點P畫PE⊥AB于E,在EB上取點M,使EM=2EA,畫直線MP交AD于N,則直線MN就是符合條件的直線l.
根據(jù)以上信息,解決下列問題:
(1)甲同學(xué)的畫法是否正確?請說明理由;
(2)在圖1中,能否畫出符合題目條件的直線?如果能,請直接在圖1中畫出;
(3)如圖2,A1,C1分別是正方形ABCD的邊AB、CD上的三等分點,且A1C1∥AD.當(dāng)點P在線段A1C1上時,能否畫出符合題目條件的直線?如果能,可以畫出幾條?
(4)如圖3,正方形ABCD邊界上的A1,A2,B1,B2,C1,C2,D1,D2都是所在邊的三等分點.當(dāng)點P在正方形ABCD內(nèi)的不同位置時,試討論,符合題目條件的直線l的條數(shù)的情況.

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(1)甲同學(xué)的畫法是否正確?請說明理由;
(2)在圖1中,能否畫出符合題目條件的直線?如果能,請直接在圖1中畫出;
(3)如圖2,A1,C1分別是正方形ABCD的邊AB、CD上的三等分點,且A1C1∥AD.當(dāng)點P在線段A1C1上時,能否畫出符合題目條件的直線?如果能,可以畫出幾條?
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(2)在圖1中,能否畫出符合題目條件的直線?如果能,請直接在圖1中畫出;
(3)如圖2,A1,C1分別是正方形ABCD的邊AB、CD上的三等分點,且A1C1∥AD.當(dāng)點P在線段A1C1上時,能否畫出符合題目條件的直線?如果能,可以畫出幾條?
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