Question

已知拋物線y=x²+px+q上有一點M（x₀，y₀）位于x軸的下方．
（1）求證：拋物線必與x軸交于兩點A（x₁，0）、B（x₂，0），其中x₁＜x₂；
（2）求證：x₁＜x₀＜x₂；
（3）當(dāng)點M為（1，-1997）時，求整數(shù)x₁、x₂．

Answer 1

分析：（1）由點M（x₀，y₀）位于x軸的下方可以得到

y0＜0 y0=x02+px0+q=(x0+ p 2 )2- p2-4q 4

，而△=p²-4q，由此得到p2-4q=4(x0+

p

2

)2-4y0≥-4y0＞0，然后得到方程x²+px+q=0有兩個實根，這樣就可以證明題目的問題；
（2）由（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可以得

x1+x2=-p x1x2=q

①，代入x₀²+px₀+q=y₀＜0可以得不等式x₀²-（x₁+x₂）x₀+x₁x₂＜0，即（x₀-x₁）（x₀-x₂）＜0，由此即可解決問題；
（3）由M在拋物線上，而x₁，x₂滿足①可以得y₀=x₀²-（x₁+x₂）x₀+x₁x₂，即-1997=（x₁-1）（x₂-1），又1997為整數(shù)，這樣得到（x₁-1）、（x₂-1）均為整數(shù)，且由x₁＜x₂，知x₁-1＜x₂-1，最好可以得到 

x1-1=-1 x2-1=1997

或

x1-1=-1997 x2-1=1

，解方程組即可求解．

解答：解：（1）由點M（x₀，y₀）位于x軸的下方，
有

y0＜0 y0=x02+px0+q=(x0+ p 2 )2- p2-4q 4

得△=p2-4q=4(x0+

p

2

)2-4y0≥-4y0＞0．
∴方程x²+px+q=0有兩個實根，設(shè)為x₁、x₂（x₁＜x₂）．
于是拋物線與x軸有兩個交點A（x₁，0）、B（x₂，0）．（4分）
（2）由（1）得

x1+x2=-p x1x2=q

①
代入x₀²+px₀+q=y₀＜0，得不等式x₀²-（x₁+x₂）x₀+x₁x₂＜0    
即（x₀-x₁）（x₀-x₂）＜0
故  x₁＜x₀＜x₂．（8分）
（3）由M在拋物線上，而x₁，x₂滿足①得
y₀=x₀²-（x₁+x₂）x₀+x₁x₂．即-1997=（x₁-1）（x₂-1）．
∵1997為整數(shù)，
∴（x₁-1）、（x₂-1）均為整數(shù)，且由x₁＜x₂，知x₁-1＜x₂-1，
得  

x1-1=-1 x2-1=1997

或

x1-1=-1997 x2-1=1

．
∴

x1=0 x2=1998

或

x1=-1996 x2=2

．（14分）

點評：此題是二次函數(shù)的綜合題目，分別考查了一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系及方程組的解法等知識，綜合性很強，代數(shù)變形能力要求比較高，是一個難題，平時加強訓(xùn)練才能很好解決這類問題．