Question

【題目】如圖，C為線段AB上一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊在AB的同側(cè)作等邊△HAC與等邊△DCB，連接DH．
（1）如圖1，當(dāng)∠DHC=90°時(shí)，求 的值；
（2）在（1）的條件下，作點(diǎn)C關(guān)于直線DH的對(duì)稱點(diǎn)E，連接AE、BE，求證：CE平分∠AEB；
（3）現(xiàn)將圖1中△DCB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度α（0°＜α＜90°），如圖2，點(diǎn)C關(guān)于直線DH的對(duì)稱點(diǎn)為E，則（2）中的結(jié)論是否成立并證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△HAC與△DCB都是等邊三角形，

∴∠ACH=∠DCB=60°，AC=HC，BC=CD，

∴∠HCD=180°﹣∠ACH﹣∠DCB=60°，

∵∠DHC=90°，

∴∠HDC=180°﹣∠DHC﹣∠HCD=30°，

∴CD=2CH，

∴BC=2AC，

∴ =2；

（2）解：如圖1，

由對(duì)稱性得∠EHD=90°，EH=HC，

∵AH=HC，

∴EH=AH，

∵∠DHC=90°，

∴E，H，C三點(diǎn)共線，

∴∠AEC= ∠AHC=30°，

由（1）可得BC=2CH=EC，

∴∠BEC= ∠ACE=30°，

∴∠AEC=∠BEC，即CE平分∠AEB；

（3）解：結(jié)論仍然正確，理由如下：

如圖2，

由對(duì)稱性可知：HC=HE，

又∵AH=HC，

∴HC=HA=HE，

∵A，C，E都在以H為圓心，HA為半徑的圓上，

∴∠AEC= ∠AHC=30°，

同理可得，∠BEC= ∠BDC=30°，

∴∠AEC=∠BEC，

∴EC平分∠AEB．

【解析】（1）根據(jù)△HAC與△DCB都是等邊三角形，可得∠ACH=∠DCB=60°，AC=HC，BC=CD，進(jìn)而得出∠HDC=180°﹣∠DHC﹣∠HCD=30°，得出CD=2CH，即可得到BC=2AC，最后求得 的值；（2）先由對(duì)稱性得∠EHD=90°，EH=HC，根據(jù)E，H，C三點(diǎn)共線，以及三角形外角性質(zhì)，得出∠AEC= ∠AHC=30°，由（1）可得BC=2CH=EC，得出∠BEC= ∠ACE=30°，即可得出CE平分∠AEB；（3）由對(duì)稱性可知：HC=HE，進(jìn)而得出A，C，E都在以H為圓心，HA為半徑的圓上，據(jù)此得到∠AEC= ∠AHC=30°，而同理可得，∠BEC= ∠BDC=30°，最后得出EC平分∠AEB．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等邊三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°，以及對(duì)圓周角定理的理解，了解頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．