Question

（2009•西藏）如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點(diǎn)C，AC平分∠DAB．
（1）試探究AD和CD的位置關(guān)系，并說明理由．
（2）若AD=3，AC=

15

，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OC，由于CD是切線，那么∠DCO=∠DCA+∠ACO=90°，而OA=OC，于是∠OAC=∠ACO，再結(jié)合AC是∠DAB平分線，易知∠DAC=∠OAC，從而有∠DAC=∠ACO，于是∠DCA+∠DAC=90°，即可證AD⊥CD；
（2）連接BC，由（1）知∠DAC=∠BAC，而∠ADC=∠ACB=90°，易證△ADC∽△ACB，利用比例線段，易求AB．

解答：解：（1）AD⊥CD．理由如下：連接OC．
∵直線CD與⊙O相切于點(diǎn)C，
∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=90°，
∵AO=CO，
∴∠OAC=∠ACO，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠ACO，
∴∠DCA+∠DAC=90°，
∴∠ADC=90°，
即AD⊥CD；

（2）連接BC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB，
∵∠DAC=∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴

AD

AC

=

AC

AB

．
∵AD=3，AC=

15

，
∴AB=5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、角平分線定義、相似三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是連接OC、BC，構(gòu)造等腰三角形、直角三角形，并證明∠DAC=∠ACO．