Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，點(diǎn)E是BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），且DF⊥AE，垂足為F．設(shè)AE=xcm，DF=ycm．
（1）求證：△DFA∽△ABE；
（2）試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，
∴AD∥BC，∠ABE=90°．
∴∠DAF=∠AEB．
又∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°．
∴∠ABE=∠DFA．
∴△ABE∽△DFA．

（2）∵△ABE∽△DFA，
∴=．
∴=．
∴xy=12．
∴y=．
根據(jù)圖可知，AE最小大于AB，最大小于AC，AC===5．
∴3＜x＜5．
分析：（1）要求△ABE∽△DFA，能看出有一對(duì)直角相等，只需要再找一對(duì)角相等，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是長(zhǎng)方形，那么就出現(xiàn)平行線，有線的平行可得出一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，故可證兩三角形相似．
（2）由（1）的相似，可得到比例線段，就可得出x與y的關(guān)系式，通過(guò)觀察圖可以知道，AE最小大于AB，最大小于AC，再由勾股定理可求出AC的值，因此可得x的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了相似三角形的判定及勾股定理．