【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直角三角形AOB的頂點A、B分別落在坐標軸上.O為原點,點A的坐標為(6,0),點B的坐標為(0,8).動點M從點O出發(fā).沿OA向終點A以每秒1個單位的速度運動,同時動點N從點A出發(fā),沿AB向終點B以每秒個單位的速度運動.當一個動點到達終點時,另一個動點也隨之停止運動,設動點MN運動的時間為t秒(t0).

1)當t=3秒時,直接寫出點N的坐標;

2)在此運動的過程中,MNA的面積是否存在最大值?若存在,請求出最大值;若不存在,請說明理由;

3)當t為何值時,MNA是一個等腰三角形?

【答案】(1N3,4),;(2)存在,最大值為6;(32

【解析】試題分析:(1)根據(jù)AB的坐標和勾股定理可得AB=10,當t=3秒時,AN= ,NAB的中點,由此得出點N的坐標為(3,4),設交點式利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式;(2)過NMA邊上的高NC,先由BAO的正弦值求出NC的表達式,而AM=OA-OM,由三角形的面積公式可得到關于SMNA關于t的函數(shù)關系式,由二次函數(shù)的最值原理即可求出MNA的最大面積(3)首先求出N點的坐標,然后表示出AM、MNAN三邊的長,分三種情況討論:MN=NAMN=MA、NA=MA;直接根據(jù)等量關系列方程求解即可。

試題解析:解:(1N3,4)。

∵A6,0

可設經過O、A、N三點的拋物線的解析式為:y=axx﹣6),則將N3,4)代入得

4=3a3﹣6),解得a=﹣

拋物線的解析式: 。

2)存在。過點NNC⊥OAC,

由題意,AN=t,AM=OA﹣OM=6﹣t,

NC=NAsinBAO= 。

。

∴△MNA的面積有最大值,且最大值為6。

3)在RtNCA中,AN=t,NC=ANsinBAO= ,AC=ANcosBAO=t。

OC=OA﹣AC=6﹣t。N6﹣t, )。

。

AM=6﹣t0t6,

MN=AN時, ,即t2﹣8t+12=0,解得t1=2,t2=6(舍去)。

MN=MA時, ,即,解得t1=0(舍去),t2=

AM=AN時,6﹣t=t,即t=

綜上所述,當t的值取 2時,MAN是等腰三角形。

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