Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OA在x軸的負(fù)半軸上，邊OC在y軸的正半軸上，且OA=1，tan∠ACB=2，將矩形OABC繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°后得到矩形ODEF．點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+2的圖象過(guò)點(diǎn)A，C，F．

（1）求拋物線(xiàn)所對(duì)應(yīng)函數(shù)的表達(dá)式；

（2）在邊DE上是否存在一點(diǎn)M，使得以O，D，M為頂點(diǎn)的三角形與△ODE相似，若存在，求出經(jīng)過(guò)M點(diǎn)的反比例函數(shù)的表達(dá)式，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）在x軸的上方是否存在點(diǎn)P，Q，使以O，F，P，Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積是矩形OABC面積的2倍，且點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，若存在，請(qǐng)求出P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（4）在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)H，使得HA﹣HC的值最大，若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+2；（2）存在，y=0.5x-1；（3）存在，當(dāng)點(diǎn)P為P1（0，1）時(shí)，點(diǎn)Q為Q1（2，2），Q2（﹣2，2）；當(dāng)點(diǎn)P為P2（1，2）時(shí)，點(diǎn)Q為Q3（3，2），Q4（﹣1，2）；（4）存在，H（0.5，3）

【解析】解：（1）∵矩形OABC，∴BC=OA=1，OC=AB，∠B=90°，

∵tan∠ACB=2，∴AB:BC=2∴OC:OA=2，則OC=2，

∵將矩形OABC繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°后得到矩形ODEF，

∴OF=2，則有A（﹣1，0）C（0，2）F（2，0）

∵拋物線(xiàn)y=ax2+bx+2的圖象過(guò)點(diǎn)A，C，F，把點(diǎn)A、C、F坐標(biāo)代入

得a-b+c=0,4a+2b+c=0,c=2∴解得a=-1,b=1,c=2∴函數(shù)表達(dá)式為y=﹣x2+x+2，

（2）存在，當(dāng)∠DOM=∠DEO時(shí)，△DOM∽△DEO∴此時(shí)有DM:DO=DO:DE.

∴DM2=0.5,∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（0.5，1），

設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的反比例函數(shù)表達(dá)式為y=kx-1，把點(diǎn)M代入解得k=0.5

∴經(jīng)過(guò)M點(diǎn)的反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=0.5x-1，

（3）存在符合條件的點(diǎn)P，Q．

∵S矩形ABCD=2×1=2，∴以O，F，P，Q為頂點(diǎn)平行四邊形的面積為4，

∵OF=2，∴以O，F，P，Q為頂點(diǎn)平行四邊形的高為2，

∵點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，2），∴﹣m2+m+2=2，解得m1=0，m2=1，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為P1（0，2），P2（1，2）

∵以O，F，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，∴PQ∥OF，PQ=OF=2．

∴當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為P1（0，1）時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為Q1（2，2），Q2（﹣2，2）；

當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為P2（1，2）時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為Q3（3，2），Q4（﹣1，2）；

（4）若使得HA﹣HC的值最大，則此時(shí)點(diǎn)A、C、H應(yīng)在同一直線(xiàn)上，

設(shè)直線(xiàn)AC的函數(shù)解析式為y=kx+b，把點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)C（0，2）代入得

-k+b=0,b=2解得k=2,b=2∴直線(xiàn)AC的函數(shù)解析式為y=2x+2，

∵拋物線(xiàn)函數(shù)表達(dá)式為y=﹣x2+x+2，∴對(duì)稱(chēng)軸為x=0.5

∴把x=0.5代入y=2x+2 解得y=3∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為（0.5，3）