Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，且A（4，0），B（0，3）．動點(diǎn)P，Q同時從點(diǎn)O出發(fā)，點(diǎn)P沿著折線O→B→A勻速運(yùn)動，點(diǎn)Q沿線段OA勻速運(yùn)動，兩點(diǎn)同時到達(dá)點(diǎn)A時，運(yùn)動停止，已知點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為每秒1個單位長度．
（1）求點(diǎn)P的運(yùn)動速度；
（2）設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t（秒），△OPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）在運(yùn)動過程中，用紙片做一個與△OPQ全等的△O′P′Q′，求△OPQ與△O′P′Q′拼成矩形時，t的取值范圍；
（4）直接寫出（3）中拼成的矩形面積最大時t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)勾股定理，可得AB的長，根據(jù)時間相等，可得關(guān)于x的方程，根據(jù)解方程，可得答案；
（2）分類討論：0＜t≤

3

2

時，直接根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；當(dāng)

3

2

＜t＜4時，先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得p_p，的長，再根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；
（3）分類討論：點(diǎn)P在OB上，根據(jù)P點(diǎn)的速度與OB的長度，可得t的范圍；點(diǎn)P在AB上，且∠OPQ=90°，根據(jù)勾股定理，可得t的值；
（4）根據(jù)矩形的邊OP最大時，矩形的面積最大，可得答案．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動速度為每秒x個單位長度，由題意，得OA=4，OB=3，AB=5，

4

1

=

3+5

x

，
解得x=2，
∴點(diǎn)P的運(yùn)動速度為每秒2個單位長度；
（2）當(dāng)0＜t≤

3

2

時，S=

1

2

OQ•OP=

1

2

•t•2t=t²；
當(dāng)

3

2

＜t＜4時，設(shè)P點(diǎn)到x軸的距離為y_p，則

yp

BO

=

AP

AB

，
解得y_p=

AP

AB

•BO=

8-2t

5

•3=

24

5

-

6

5

t，
∴S=

1

2

OQ•Y_P=

1

2

•t•（

24

5

-

6

5

t）=

12

5

t-

3

5

t²；
（3）只有當(dāng)△OPQ是直角三角形時，能拼成矩形，
當(dāng)點(diǎn)P在OB上時，∠POQ=90°，0＜

OB

2

＜

3

2

，此時0＜t≤

3

2

；
當(dāng)點(diǎn)P在AB上時，∠OPQ=90°，由勾股定理，得
t=3．
（4）當(dāng)OP最大時，矩形面積最大，即2×t=3，
解得t=

3

2

．

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)綜合題，（1）利用時間相等得出方程是解題關(guān)鍵；（2）分類討論是解題關(guān)鍵，利用了三角形的面積公式；（3）利用了矩形的性質(zhì)：矩形的角都是直角，利用了分類討論的思想，（4）利用了矩形的邊長都最長時矩形的面積最大．