Question

 如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，點E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．
（1）求∠ABC的度數(shù)；
（2）求證：AE是⊙O的切線；
（3）當BC=4，AC=AD時，求CD的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）直接根據(jù)圓周角定理求解；
（2）根據(jù)圓周角定理，由AB是⊙O的直徑得到∠ACB=90°，則∠BAC=30°，易得∠BAE=90°，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到AE是⊙O的切線；
（3）先在Rt△ABC中，利用含30度的直角三角形三碧娜的關(guān)系得到AC=

3

BC=4

3

，再△ACD為等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求解．

解答：（1）解：∵∠ABC和∠D都是弧AC所對的圓周角，
∴∠ABC=∠D=60°；
（2）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BAC=30°，
∵∠EAC=60°，
∴∠BAC+∠EAC=90°，即∠BAE=90°，
∴BA⊥AE，
∴AE是⊙O的切線；
（3）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，
∴AC=

3

BC=4

3

，
∵AC=AD，∠D=60°，
∴△ACD為等邊三角形，
∴CD=AC=4

3

．

點評：本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．