Question

17．已知：如圖，直線y=-x+3與x軸、y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)O關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)O′，且點(diǎn)O′恰好在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上．
（1）求點(diǎn)A與B的坐標(biāo)；
（2）求k的值；
（3）若y軸正半軸有點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的平行線，且與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象交于點(diǎn)Q，設(shè)A、P、Q、O′四個(gè)點(diǎn)所圍成的四邊形的面積為S．若S=$\frac{3}{2}$S_△OAB時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）分別令直線y=-x+3中的x=0，y=0即可求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)即可；
（3）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的上方時(shí)，即：m＞3，延長(zhǎng)AO′于PQ相交于點(diǎn)M，設(shè)P（0，m），由面積關(guān)系可求；②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的上方時(shí)，即：0＜m＜3，方法同上．

解答 解：（1）A（3，0），B（0，3）
      （2）如圖①

            圖①
∵點(diǎn)O與O′關(guān)于直線AB對(duì)稱，
∴由題意可得四邊形OAO′B為正方形，
∴O′（3，3）
則 k=3×3=9
即：k的值為9
（3）設(shè)P（0，m），顯然，點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合
①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的上方時(shí)，即：m＞3，
延長(zhǎng)AO′于PQ相交于點(diǎn)M，如圖②所示：

則：Q（$\frac{9}{m}$，m），M（3，m）
∴PM=3，AM=m，MO′=m-3，QM=3-$\frac{9}{m}$，
∴S=S_△PMA-S_△QMO′=$\frac{3}{2}{S}_{△OAB}$=$\frac{3}{2}$×$\frac{9}{2}$=$\frac{27}{4}$
∴$\frac{3}{2}m$-$\frac{1}{2}$（3-m）（m+3）=$\frac{27}{4}$，
解之得：m=6
②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的上方時(shí)，即：0＜m＜3，如圖③所示：

顯然，PQ⊥AO′，
∴S=$\frac{1}{2}$•PQ•AO′=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{9}{m}$=$\frac{27}{4}$，
∴m=2
∴P（0，2）或（0，6）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是理解函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的實(shí)質(zhì)、對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)及綜合分析問題的能力．