Question

梯形ABCD中，AB∥CD，CD=10，AB=50，cosA=，∠A+∠B=90°，點M是邊AB的中點，點N是邊AD上的動點．
（1）如圖1，求梯形ABCD的周長；        
（2）如圖2，聯(lián)結(jié)MN，設(shè)AN=x，MN•cos∠NMA=y（0°＜∠NMA＜90°），求y關(guān)于x的關(guān)系式及定義域；
（3）如果直線MN與直線BC交于點P，當(dāng)P=∠A時，求AN的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點C作CF∥AD，交AB于點F，得出平行四邊形和直角三角形，求出AD，BC即可；
（2）過點N作NQ⊥AB，垂足為Q，求出y=MQ，求出AQ和AM，相減即可得出答案；
（3）分別延長AD、BC交于點E，連接EM，分為兩種情況，1°當(dāng)點P在CB的延長線上時，2°當(dāng)點P在BC的延長線上時，畫出圖形，結(jié)合圖形求出線段的長，即可得出答案．
解答：解：（1）過點C作CF∥AD，交AB于點F，如圖1，
∴∠CFB=∠A，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠CFB+∠B=90°，
∴∠FCB=90°，
∵AB∥CD，
∴四邊形CDAF是平行四邊形，
∴CF=AD，AF=CD=10，
∴BF=AB-AF=40
在Rt△BCF中，∠FCB=90°，∴，
∴，
∴，
∴C_ABCD=10+32+50+24=116．

（2）過點N作NQ⊥AB，垂足為Q，
∴∠NQA=∠NQM=90°，
∴，
∴，
∴，
∴MQ=MN•cos∠NMA=y，
∵點M是邊AB的中點，
∴，
∴；
定義域是0＜x＜．

（3）分別延長AD、BC交于點E，連接EM．
∵∠A+∠B=90°，∴∠AEB=90°，AM=EM=BM=25，
∴．
直線MN與直線BC交于點P，
當(dāng)∠P=∠A時，分兩種情況：1°當(dāng)點P在CB的延長線上時，如圖4，
∵BM=EM，
∴∠BEM=∠EBM，
∵∠A+∠ABE=90°，
∴∠P+∠MEB=90°，
∴∠EMP=∠EMN=90°，
∵AM=EM，
∴∠AEM=∠A，
∴，
∴，
∴；
2°當(dāng)點P在BC的延長線上時，如圖5，
∵∠P+∠PNE=90°，∠ANM=∠PNE，
∴∠A+∠ANM=90°，
∴∠AMN=90°，
∴，
∴，
綜合1°、2°，當(dāng)∠P=∠A時，或．
點評：本題考查了梯形性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，勾股定理，解直角三角形，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進(jìn)行推理和計算的能力，難度偏大．