Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)A是雙曲線y= 在第一象限的分支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AO并延長(zhǎng)交另一分支于點(diǎn)B，以AB為邊作等邊△ABC，點(diǎn)C在第四象限．隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C的位置也不斷變化，但點(diǎn)C始終在雙曲線y= （k＜0）上運(yùn)動(dòng)，則k的值是 ．

Answer 1

【答案】﹣6
【解析】解：∵雙曲線y= 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)， ∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．
∴OA=OB．
連接OC，如圖所示．
∵△ABC是等邊三角形，OA=OB，
∴OC⊥AB．∠BAC=60°．
∴tan∠OAC= = ．
∴OC= OA．
過(guò)點(diǎn)A作AE⊥y軸，垂足為E，
過(guò)點(diǎn)C作CF⊥y軸，垂足為F，
∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，
∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=90°﹣∠FOC=∠OCF．
∴△AEO∽△OFC．
∴ = = ．
∵OC= OA，
∴OF= AE，F(xiàn)C= EO．
設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（a，b），
∵點(diǎn)A在第一象限，
∴AE=a，OE=b．
∴OF= AE= a，F(xiàn)C= EO= b．
∵點(diǎn)A在雙曲線y= 上，
∴ab=2．
∴FCOF= b a=3ab=6
設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（x，y），
∵點(diǎn)C在第四象限，
∴FC=x，OF=﹣y．
∴FCOF=x（﹣y）=﹣xy
=6．
∴xy=﹣6．
∵點(diǎn)C在雙曲線y= 上，
∴k=xy=﹣6．
故答案為：﹣6．

連接OC，易證AO⊥OC，OC= OA．由∠AOC=90°想到構(gòu)造K型相似，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥y軸，垂足為E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥y軸，垂足為F，可證△AEO∽△OFC．從而得到OF= AE，F(xiàn)C= EO..設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（a，b）則ab=2，可得FCOF=6．設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（x，y），從而有FCOF=﹣xy=﹣6，即k=xy=﹣6．