【題目】如圖1,已知直線y=x+3與x軸交于點A,與y軸交于點B,將直線在x軸下方的部分沿x軸翻折,得到一個新函數(shù)的圖象(圖中的“V形折線”).
(1)類比研究函數(shù)圖象的方法,請列舉新函數(shù)的兩條性質(zhì),并求新函數(shù)的解析式;
(2)如圖2,雙曲線y=與新函數(shù)的圖象交于點C(1,a),點D是線段AC上一動點(不包括端點),過點D作x軸的平行線,與新函數(shù)圖象交于另一點E,與雙曲線交于點P.
①試求△PAD的面積的最大值;
②探索:在點D運動的過程中,四邊形PAEC能否為平行四邊形?若能,求出此時點D的坐標;若不能,請說明理由.
【答案】(1)①函數(shù)的最小值為0;②函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=-3;新函數(shù)的解析式為y= ;(2)△PAD的面積的最大值為;②在點D運動的過程中,四邊形PAEC不能為平行四邊形.理由見解析.
【解析】(1)根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì),結合函數(shù)圖象可寫出新函數(shù)的兩條性質(zhì);求新函數(shù)的解析式,可分兩種情況進行討論:①x≥-3時,顯然y=x+3;②當x<-3時,利用待定系數(shù)法求解;
(2)①先把點C(1,a)代入y=x+3,求出C(1,4),再利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式為y=.由點D是線段AC上一動點(不包括端點),可設點D的坐標為(m,m+3),且-3<m<1,那么P(,m+3),PD=-m,再根據(jù)三角形的面積公式得出△PAD的面積為S=(-m)×(m+3)=-m2-m+2=-(m+)2+,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解;
②先利用中點坐標公式求出AC的中點D的坐標,再計算DP,DE的長度,如果DP=DE,那么根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得四邊形PAEC為平行四邊形;如果DP≠DE,那么不是平行四邊形.
試題解析:(1)如圖1,均是正整數(shù)新函數(shù)的兩條性質(zhì):①函數(shù)的最小值為0;
②函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=-3;
由題意得A點坐標為(-3,0).分兩種情況:
①x≥-3時,顯然y=x+3;
②當x<-3時,設其解析式為y=kx+b.
在直線y=x+3中,當x=-4時,y=-1,
則點(-4,-1)關于x軸的對稱點為(-4,1).
把(-4,1),(-3,0)代入y=kx+b,
得
解得
∴y=-x-3.
綜上所述,新函數(shù)的解析式為y= ;
(2)如圖2,
①∵點C(1,a)在直線y=x+3上,
∴a=1+3=4.
∵點C(1,4)在雙曲線y=上,
∴k=1×4=4,y=.
∵點D是線段AC上一動點(不包括端點),
∴可設點D的坐標為(m,m+3),且-3<m<1.
∵DP∥x軸,且點P在雙曲線上,
∴P(,m+3),
∴PD=-m,
∴△PAD的面積為
S=(-m)×(m+3)=-m2-m+2=-(m+)2+,
∵a=-<0,
∴當m=-時,S有最大值,為,
又∵-3<-<1,
∴△PAD的面積的最大值為;
②在點D運動的過程中,四邊形PAEC不能為平行四邊形.理由如下:
當點D為AC的中點時,其坐標為(-1,2),此時P點的坐標為(2,2),E點的坐標為(-5,2),
∵DP=3,DE=4,
∴EP與AC不能互相平分,
∴四邊形PAEC不能為平行四邊形.
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【題目】解下列方程:
(1)4-m=-m; (2)56-8x=11+x;
(3) x+1=5+x; (4)-5x+6+7x=1+2x-3+8x.
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【題目】一點A從數(shù)軸上表示+2的點開始移動,第一次先向左移動1個單位,再向右移動2個單位;第二次先向左移動3個單位,再向右移動4個單位;第三次先向左移動5個單位,再向右移動6個單位……
(1)寫出第一次移動后這個點在數(shù)軸上表示的數(shù)為 ;
(2)寫出第二次移動后這個點在數(shù)軸上表示的數(shù)為 ;
(3)寫出第五次移動后這個點在數(shù)軸上表示的數(shù)為 ;
(4)寫出第次移動結果這個點在數(shù)軸上表示的數(shù)為 ;
(5)如果第次移動后這個點在數(shù)軸上表示的數(shù)為56,求的值.
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【題目】在數(shù)軸上有三個點A、B、C(如圖).請回答:
(1)寫出數(shù)軸上與點B相距5個單位的點M所表示的數(shù)為 ;
(2)在數(shù)軸上表示:將點C向左移動6個單位到達點D,點A的相反數(shù)為點E,并用“<”號把B、D、E三點所表示的數(shù)連接起來.
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【題目】在平面直角坐標系中,點A、B是拋物線y=ax2(a>0)上兩點.若點A、B的坐標分別為(3,m)、(4,n),則m_____n.(填“>”、“=”或“<”)
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【題目】利用網(wǎng)格畫圖:
(1)過點C畫AB的平行線CD;
(2)過點C畫AB的垂線,垂足為E;
(3)線段CE的長度是點C到直線_______的距離;
(4)連接CA、CB,在線段CA、CB、CE中,線段_______最短,理由:_______.
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【題目】拋物線y=ax2+bx+c的頂點為D(﹣1,2),與x軸的一個交點A在點(﹣3,0)和
(﹣2,0)之間,其部分圖象如下圖,則以下結論:①b2﹣4ac<0;②a+b+c<0;③c﹣a=2;④方程ax2+bx+c﹣2=0有兩個相等的實數(shù)根.其中正確結論的個數(shù)為( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
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【題目】(9分)已知代數(shù)式(ax-3)(2x+4)-x2-b化簡后,不含x2項和常數(shù)項.
(1)求a,b的值;
(2)求(2a+b)2-(a-2b)(a+2b)-3a(a-b)的值.
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【題目】在平面直角坐標系中,點A(﹣3,4)關于y軸的對稱點為點B,連接AB,反比例函數(shù)y= (x>0)的圖像經(jīng)過點B,過點B作BC⊥x軸于點C,點P是該反比例函數(shù)圖像上任意一點,過點P作PD⊥x軸于點D,點Q是線段AB上任意一點,連接OQ、CQ.
(1)點B的坐標是;k的值為
(2)判斷△QDC與△POD的面積是否相等,并說明理由.
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