Question

如圖，在邊長為11cm的等邊△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，BD=4cm，CE=6cm．在BC邊上是否存在一點P，使以點P、B、D為頂點的三角形與以點P、C、E為頂點的三角形相似？如存在，請求出這兩個三角形的面積比；如不存在，請說明理由．

Answer 1

解：存在點P，使以點P、B、D為頂點的三角形與以點P、C、E為頂點的三角形相似．
設(shè)點P在BC上，BP=x，PC=y，則有（I）或（ II）
解（ I）得，
解（ II）得或，
①當(dāng)時，S_△PDB：S_△PEC=（2：3）²=4：9；
②當(dāng)時，S_△PDB：S_△PEC=（4：8）²=1：4；
③當(dāng)時，S_△PDB：S_△PEC=（4：3）²=16：9．
分析：存在．設(shè)點P在BC上，BP=x，PC=y，則x+y=11，△BPD∽△CEP或△BPD∽△CPE，分兩種情況分別求x、y的值，再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方求解．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是根據(jù)兩個三角形相似的對應(yīng)關(guān)系分類，分別求x、y的值，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解題．