【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx(a≠0)過點E(10,0),矩形ABCD的邊AB在線段OE上(點A在點B的左邊),點C,D在拋物線上.設(shè)A(t,0),當t=2時,AD=4.
(1)求拋物線的函數(shù)表達式.
(2)當t為何值時,矩形ABCD的周長有最大值?最大值是多少?
(3)保持t=2時的矩形ABCD不動,向右平移拋物線.當平移后的拋物線與矩形的邊有兩個交點G,H,且直線GH平分矩形的面積時,求拋物線平移的距離.
【答案】(1)拋物線的函數(shù)表達式為y=﹣x2+x;(2)當t=1時,矩形ABCD的周長有最大值,最大值為;(3)拋物線向右平移的距離是4個單位.
【解析】(1)由點E的坐標設(shè)拋物線的交點式,再把點D的坐標(2,4)代入計算可得;
(2)由拋物線的對稱性得BE=OA=t,據(jù)此知AB=10-2t,再由x=t時AD=-t2+t,根據(jù)矩形的周長公式列出函數(shù)解析式,配方成頂點式即可得;
(3)由t=2得出點A、B、C、D及對角線交點P的坐標,由直線GH平分矩形的面積知直線GH必過點P,根據(jù)AB∥CD知線段OD平移后得到的線段是GH,由線段OD的中點Q平移后的對應(yīng)點是P知PQ是△OBD中位線,據(jù)此可得.
(1)設(shè)拋物線解析式為y=ax(x-10),
∵當t=2時,AD=4,
∴點D的坐標為(2,4),
∴將點D坐標代入解析式得-16a=4,
解得:a=-,
拋物線的函數(shù)表達式為y=-x2+x;
(2)由拋物線的對稱性得BE=OA=t,
∴AB=10-2t,
當x=t時,AD=-t2+t,
∴矩形ABCD的周長=2(AB+AD)
=2[(10-2t)+(-t2+t)]
=-t2+t+20
=-(t-1)2+,
∵-<0,
∴當t=1時,矩形ABCD的周長有最大值,最大值為;
(3)如圖,
當t=2時,點A、B、C、D的坐標分別為(2,0)、(8,0)、(8,4)、(2,4),
∴矩形ABCD對角線的交點P的坐標為(5,2),
當平移后的拋物線過點A時,點H的坐標為(4,4),此時GH不能將矩形面積平分;
當平移后的拋物線過點C時,點G的坐標為(6,0),此時GH也不能將矩形面積平分;
∴當G、H中有一點落在線段AD或BC上時,直線GH不可能將矩形的面積平分,
當點G、H分別落在線段AB、DC上時,直線GH過點P必平分矩形ABCD的面積,
∵AB∥CD,
∴線段OD平移后得到的線段GH,
∴線段OD的中點Q平移后的對應(yīng)點是P,
在△OBD中,PQ是中位線,
∴PQ=OB=4,
所以拋物線向右平移的距離是4個單位.
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【題目】如圖,在邊長為5的正方形ABCD中,以A為一個頂點,另外兩個頂點在正方形ABCD的邊上,且含邊長為3的所有大小不同的等腰三角形的個數(shù)為( )
A.3B.4C.5D.6
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【題目】點P是正方形ABCD邊AB上一點(不與A,B重合),連接PD并將線段PD繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°,得線段PE,連接BE,則∠CBE等于( )
A. 75° B. 60° C. 45° D. 30°
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【題目】(10分)學(xué)校組織學(xué)生參加綜合實踐活動,他們參與了某種品牌運動鞋的銷售工作,已知該運動鞋每雙的進價為120元,為尋求合適的銷售價格進行了4天的試銷,試銷情況如下表所示:
第1天 | 第2天 | 第3天 | 第4天 | |
售價x(元/雙) | 150 | 200 | 250 | 300 |
銷售量y(雙) | 40 | 30 | 24 | 20 |
(1)觀察表中數(shù)據(jù),x,y滿足什么函數(shù)關(guān)系?請求出這個函數(shù)關(guān)系式;
(2)若商場計劃每天的銷售利潤為3000元,則其單價定為多少元?
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,D為三角形內(nèi)一點,且△DBC為等邊三角形.
(1)求證:直線AD垂直平分BC;
(2)以AB為一邊,在AB的右側(cè)畫等邊△ABE,連接DE,試判斷以DA,DB,DE三條線段是否能構(gòu)成直角三角形?請說明理由.
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【題目】如圖,長方形ABCD中,∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°,AD=BC=6, AB=CD=10.點E為射線DC上的一個動點,△ADE與△AD′E關(guān)于直線AE對稱,當△AD′B為直角三角形時,DE的長為( 。
A.2或8B.或18C.或2D.2或18
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【題目】如圖,AD是⊙O的直徑,AB為⊙O的弦,OP⊥AD,OP與AB的延長線交于點P,過B點的切線交OP于點C.
(1)求證:∠CBP=∠ADB.
(2)若OA=2,AB=1,求線段BP的長.
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【題目】如圖,ΔABC中,AB=AC,將A沿DE折疊,使A與B重合,DE為折痕,若ΔBEC為等腰三角形,則∠A的度數(shù)是_________.
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