Question

是否存在常數(shù)p、q使得x⁴+px²+q能被x²+2x+5整除？如果存在，求出p、q的值，否則請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：整式的除法

專題：計(jì)算題

分析：假設(shè)存在，則說(shuō)明x⁴+px²+q能被x²+2x+5整除，可設(shè)另一個(gè)因式是x²+mx+n，于是有（x²+2x+5）（x²+mx+n）=x⁴+px²+q，可把等式的左邊展開(kāi)并合并同類項(xiàng)，利用等式的對(duì)應(yīng)項(xiàng)相等可得關(guān)于m、n、p、q的方程組，解即可，若p、q都是常數(shù)，則說(shuō)明存在，否則就是不存在．

解答：解：假設(shè)存在，則說(shuō)明x⁴+px²+q能被x²+2x+5整除，
可設(shè)另一個(gè)因式是x²+mx+n，
∴（x²+2x+5）（x²+mx+n）=x⁴+px²+q，
即有
x⁴+（m+2）x³+（n+2m+5）x²+（2n+5m）x+5n=x⁴+px²+q，
∴

m+2=0 n+2m+5=p

且

2n+5m=0 5n=q

解上面的方程組，得

m=-2 n=5 p=6 q=25

，
∴存在常數(shù)p、q使得x⁴+px²+q能被x²+2x+5整除．
故所求p=6，q=25．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是整式的除法，可利用乘法是除法的逆運(yùn)算計(jì)算，其實(shí)就是待定系數(shù)法．