Question

13．如圖1和2，四邊形ABCD是菱形，點P是對角線AC上一點，以點P為圓心，PB為半徑的弧，交BC的延長線于點F，連接PF，PD，PB．
（1）如圖1，點P是AC的中點，請寫出PF和PD的數(shù)量關系：PF=PD；
（2）如圖2，點P不是AC的中點，
①求證：PF=PD．
②若∠ABC=50°，直接寫出∠DPF的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據作圖和菱形的性質可以得到PF和PD的數(shù)量關系；
（2）①根據作圖得到PB=PF，再根據△PCB≌△PCD得到PB=PD，進而得出結論；②根據PB=PF得出∠PBC=∠PFB，根據△PCB≌△PCD得出∠PBC=∠PDC，進而得到∠DCF=∠DPF，最后根據∠DCF的度數(shù)進行求解．

解答 （1）根據以點P為圓心，PB為半徑的弧，交BC的延長線于點F，可知PB=PF
當點P是AC的中點時，點P也是BD的中點，即PB=PD
∴PF和PD的數(shù)量關系為PF=PD

（2）①證明：根據以點P為圓心，PB為半徑的弧，交BC的延長線于點F，可知PB=PF
∵菱形ABCD
∴BC=DC，∠PCB=∠PCD
在△PCB和△PCD中
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠PCB=∠PCD}\\{PC=PC}\end{array}\right.$
∴△PCB≌△PCD（SAS）
∴PB=PD
∴PF=PD
②根據PB=PF，可得∠PBC=∠PFB
根據△PCB≌△PCD，可得∠PBC=∠PDC
∴∠PFB=∠PDC
又∵∠DOP=∠COF
∴∠DCF=∠DPF
由AB∥CD可知，∠DCF=∠ABC=50°
∴∠DPF=50°

點評 本題主要考查了菱形的性質以及全等三角形的判定與性質，解決問題的關鍵是運用等量代換進行推導．解題時注意，菱形是軸對稱圖形，對角線所在直線是菱形的對稱軸，對稱軸兩側的對應邊、對應角都相等．