Question

（2012•大慶）已知等邊△ABC的邊長為3個(gè)單位，若點(diǎn)P由A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度在三角形的邊上沿A→B→C→A方向運(yùn)動(dòng)，第一次回到點(diǎn)A處停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)AP=S，用t表示運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（1）當(dāng)點(diǎn)P由B到C運(yùn)動(dòng)的過程中，用t表示S；
（2）當(dāng)t取何值時(shí)，S等于

7

（求出所有的t值）；
（3）根據(jù)（2）中t的取值，直接寫出在哪些時(shí)段AP＜

7

？

Answer 1

分析：（1）用t表示出PB的長，利用余弦定理即可表示出AP的長；
（2）令S等與

7

，建立關(guān)于t的方程，解答即可；
（3）利用（2）中所求，即可得出AP＜

7

時(shí)t的取值．

解答：解：（1）∵AB=3，BP=t-3；
∴AP²=3²+（t-3）²-2×3•（t-3）•cos60°
=9+9-6t+t²-6（t-3）×

1

2

=18-6t+t²+9-3t
=t²-9t+27，
∴S=

t2-9t+27

．

（2）當(dāng)t在BC上時(shí)，
∵S=

7

，
∴t²-9t+27=7，
解得t₁=4，t₂=5；
當(dāng)p在AB上時(shí)，t=

7

；
當(dāng)p在CA上時(shí)，t=9-

7

．
當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，由（2）∵S=

t2-9t+27

開口向上，
與S=

7

交點(diǎn)橫坐標(biāo)為t₁=4，t₂=5；
綜上所述：t=4或t=5或

7

或9-

7

；

（3）根據(jù)（2）可知：0≤t＜

7

；4＜t＜5；9-

7

＜t≤9；
這三個(gè)時(shí)間段內(nèi)S＜

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、余弦定理、一元二次方程與二次函數(shù)之間的關(guān)系，難度較大，會(huì)解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．