Question

（本題滿分13分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M（，），以點(diǎn)M為圓心，OM長(zhǎng)為半徑作⊙M ，使⊙M與直線OM的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B，與x軸、y軸的另一交點(diǎn)分別為點(diǎn)D，A（如圖），連接AM點(diǎn)P是弧AB上的動(dòng)點(diǎn).

（1）寫(xiě)出∠AMB的度數(shù)；

（2）點(diǎn)Q在射線OP上，且OP·OQ=20，過(guò)點(diǎn)Q作QC垂直于直線OM，垂足為C，直線QC交x軸于點(diǎn)E.

①當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

②連接QD，設(shè)點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為t，△QOD的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式及S的取值范圍.

Answer 1

（1）90°；（2）①（，0）；②S=，5≤S≤10．

【解析】

試題分析：（1）首先過(guò)點(diǎn)M作MH⊥OD于點(diǎn)H，由點(diǎn)M（，），可得∠MOH=45°，OH=MH=，繼而求得∠AOM=45°，又由OM=AM，可得△AOM是等腰直角三角形，繼而可求得∠AMB的度數(shù)；

（2）①由OH=MH=，MH⊥OD，即可求得OD與OM的值，繼而可得OB的長(zhǎng)，又由動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，OP•OQ=20，可求得OQ的長(zhǎng)，繼而求得答案；

②由OD=，Q的縱坐標(biāo)為t，即可得S==，然后分別從當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與B點(diǎn)重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥x軸，垂足為F點(diǎn)，與當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與A點(diǎn)重合時(shí)，Q點(diǎn)在y軸上，去分析求解即可求得答案．

試題解析：（1）過(guò)點(diǎn)M作MH⊥OD于點(diǎn)H，∵點(diǎn)M（，），∴OH=MH=，∴∠MOD=45°，∵∠AOD=90°，∴∠AOM=45°，∵OM=AM，∴∠OAM=∠AOM=45°，∴∠AMO=90°，∴∠AMB=90°；

（2）①∵OH=MH=，MH⊥OD，∴OM==2，OD=2OH=，∴OB=4，∵動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，OP•OQ=20，∴OQ=5，∵∠OQE=90°，∠POE=45°，∴OE=，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）；

②∵OD=，Q的縱坐標(biāo)為t，∴S==，如圖2，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與B點(diǎn)重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥x軸，垂足為F點(diǎn)，∵OP=4，OP•OQ=20，∴OQ=5，∵∠OFC=90°，∠QOD=45°，∴t=QF=，此時(shí)S==5；

如圖3，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與A點(diǎn)重合時(shí)，Q點(diǎn)在y軸上，∴OP=，∵OP•OQ=20，∴t=OQ=，此時(shí)S==10；∴S的取值范圍為5≤S≤10．

考點(diǎn)：圓的綜合題．