Question

（1）如圖1，在△ABC和△ECD是等邊△，則BE、AD之間的數(shù)量關(guān)系為

 

；∠DFE度數(shù)為

 

；請用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)說明上述關(guān)系成立的理由．
（2）如圖2，在△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠BAC=∠CED=90°，M是CD的中點，連AM、BE交于F點，則BE、AM之間的數(shù)量關(guān)系為

 

；∠MFE度數(shù)是

 

；
（3）如圖3，在△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠BAC=∠CED=90°，N是BD的中點，連AN、NB，則AN、NE有何關(guān)系并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）易證△ACD是△BCE順時針旋轉(zhuǎn)60°來的，可得△ACD≌△BCE，可得∠CAD=∠CBE，即可求得∠DFE=60°；
（2）連接EM，則△CEM是等腰直角三角形，易證∠BCE=∠ACM，

BC

AC

=

CE

CM

，即可證明△BCE∽△ACM，可得

BE

AM

=

BC

AC

=

2

和∠CBE=∠CAM，即可求得∠MFE=45°；
（3）取BC中點F，取CD中點M，連接MN，AF，NF，EM，易證NF=EM，NM=AF，∠AFN=∠EMN，即可證明△AFN≌△NME，可得AN=EN，∠NAF=∠ENM，即可求得∠ENM+∠ANM=90°，即可解題．

解答：解：（1）∵△ABC和△ECD是等邊△，
∴∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∴△ACD是△BCE順時針旋轉(zhuǎn)60°來的，
∴△ACD≌△BCE，
∴BE=AD，
∴∠CAD=∠CBE，
∴∠DFE=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEF=∠ACB=60°；
故答案為 BE=AD，∠DFE=60°；
（2）連接EM，則△CEM是等腰直角三角形，

∴CE=

2

CM，∵∠ACB=45°=∠ECM，
∴∠BCE=∠ACM，
∵BC=

2

AC，
∴

BC

AC

=

2

=

CE

CM

，
∴△BCE∽△ACM，
∴

BE

AM

=

BC

AC

=

2

，
∠CBE=∠CAM，
∵∠BFM=∠BAF+∠ABF=∠BAC+∠CAM+∠ABF=90°+∠CBE+∠ABF=90°+∠ABC=135°，
∴∠MFE=45°；
故答案為

2

，45°；
（3）取BC中點F，取CD中點M，連接MN，AF，NF，EM，

∴NF，NM是△BCD的中位線，
∴NF=

1

2

CD=EM，NM=

1

2

BC=AF，
∵NF∥CD，NM∥BC，
∴四邊形NFCM是平行四邊形，
∴∠NFC=∠NMC，
∵∠AFC=90°=∠EMC，∴∠AFN=∠EMN，
∵在△AFN和△NME中，

NF=EM ∠AFN=∠EMN NM=AF

，
∴△AFN≌△NME，（SAS）
∴AN=EN，∠NAF=∠ENM，
∵M(jìn)N∥BC，AF⊥BC，
∴MN⊥AF，
∴∠NAF+∠ANM=90°，
∴∠ENM+∠ANM=90°，即∠ANE=90°，
∴AN⊥EN．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中構(gòu)建并求證△AFN≌△NME是解題的關(guān)鍵．