Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B在x軸上，以AB為弦的⊙O與y軸相切于E點(diǎn)，E點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2），AE的長為．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若D點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-8），拋物線y=ax²+bx+c過D、A、B三點(diǎn)，求這拋物線的解析式；
（3）證明上述拋物線的頂點(diǎn)在⊙C上．

Answer 1

解：（1）∵E（0，2），
∴|OE|=2，
又∵|AE|=，
∴|OA|=1，
∵A點(diǎn)在x軸上，
∴A（1，0），
∵E是⊙C的切點(diǎn)，由切割線定理知|OE|2=|OA|•|OB|，
∴|OB|=4，
∵B點(diǎn)在x軸上，
∴B（4，0），即所求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，0），（4，0）；

（2）設(shè)過A、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-4）（a≠0），
把D（0，-8）代入上式，解得a=-2．
故所求拋物線的解析式為y=-2x²+10x-8；

（3）∵y=-2x²+10x-8=-2（x-）²+，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（，），
作AB的中垂線MN，與⊙C在第一象限相交于點(diǎn)M，與x軸相交于點(diǎn)N，則MN必過圓心C，且|ON|=，連接CE，
∵E是切點(diǎn)，
∴CE是⊙C的半徑，且CE⊥y軸，
∴四邊形ONCE是矩形，
∴|EC|=|ON|=，|NC|=|OE|=2，
又∵CM是⊙C的半徑，
∴|CM|=|EC|=，
∴|MN|=，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）
∴點(diǎn)M與點(diǎn)P的坐標(biāo)相同，即這兩點(diǎn)重合．
∴拋物線的頂點(diǎn)在⊙C上．
分析：（1）先根據(jù)E點(diǎn)坐標(biāo)求出OE的長，再由|AE|=可得出OA的長，故可得出A點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)镋是⊙C的切點(diǎn)，所以由切割線定理知|OE|²=|OA|•|OB|，故可得出OB的長，故可得出B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)過A、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-4）（a≠0），把點(diǎn)D的坐標(biāo)代入求出a的值，故可得出所求拋物線的解析式；
（3）由（2）中拋物線的解析式得出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，作AB的中垂線MN，與⊙C在第一象限相交于點(diǎn)M，與x軸相交于點(diǎn)N，則MN必過圓心C，且|ON|=，連接CE，由E是切點(diǎn)可知CE是⊙C的半徑，且CE⊥y軸，故四邊形ONCE是矩形，故可得出|EC|=|ON|=，|NC|=|OE|=2，再由CM是⊙C的半徑可知|CM|=|EC|=，故可得出MN的長度，由此可得出M點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)辄c(diǎn)M與點(diǎn)P的坐標(biāo)相同，所以這兩點(diǎn)重合，故可得出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到勾股定理、切割線定理、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式及矩形的判定與性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，難度適中．