Question

20．如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AC⊥BD，CH⊥AB于H．
求證：$CH=\frac{1}{2}（AB+CD）$．

Answer 1

分析 過C點作CE∥DB交AB延長線于E，易證四邊形DBEC是平行四邊形，所以DB=CE，結(jié)合已知條件可證明△ACE為等腰直角三角形，再由等腰直角三角形的性質(zhì)即可證明CH=$\frac{1}{2}$（AB+CD）．

解答 證明：
過C點作CE∥DB交AB延長線于E，
∵AB∥CD，
∴四邊形DBEC是平行四邊形，
∴DB=CE，DB∥CE，DC=BE，
∵AB∥CD，AD=BC，
∴AC=BD，
∴AC=CE，
∵AC⊥BD，
∴AC⊥CE，
∴△ACE為等腰直角三角形，
∵CH⊥AB于H，
∴CH=$\frac{1}{2}$AE，
∵AE=AB+BE=AB+CD，
∴CH=$\frac{1}{2}$（AB+DC）．

點評 本題考查等腰梯形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定和性質(zhì)，難度不大，注意在解題的過程中運算平行線的性質(zhì)，掌握等腰梯形的對角線相等是解題關(guān)鍵．