【題目】如圖,拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,其對(duì)稱軸交拋物線于點(diǎn)D,交x軸于點(diǎn)E,已知OB=OC=6.

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo);

(2)連接BD,F(xiàn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)∠FAB=∠EDB時(shí),求點(diǎn)F的坐標(biāo);

(3)平行于x軸的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn),以線段MN為對(duì)角線作菱形MPNQ,當(dāng)點(diǎn)P在x軸上,且PQ=MN時(shí),求菱形對(duì)角線MN的長(zhǎng).

【答案】(1) ,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,-8) (2) 點(diǎn)F的坐標(biāo)為(7,)(5,)(3) 菱形對(duì)角線MN的長(zhǎng)為.

【解析】分析:(1)利用待定系數(shù)法,列方程求二次函數(shù)解析式.(2)利用解析法,FAB=∠EDB, tan∠FAG=tan∠BDE,求出F點(diǎn)坐標(biāo).(3)分類討論,當(dāng)MNx軸上方時(shí),x軸下方時(shí)分別計(jì)算MN.

詳解:

(1)∵OB=OC=6,

B(6,0),C(0,-6).

,

解得,

拋物線的解析式為.

=,

點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,-8).

(2)如圖,當(dāng)點(diǎn)Fx軸上方時(shí),設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(x).過點(diǎn)FFGx軸于點(diǎn)G,易求得OA=2,則AG=x+2,FG=.

∵∠FAB=∠EDB

∴tan∠FAG=tan∠BDE,

,

解得,(舍去).

當(dāng)x=7時(shí),y=,

點(diǎn)F的坐標(biāo)為(7,).

當(dāng)點(diǎn)Fx軸下方時(shí),設(shè)同理求得點(diǎn)F的坐標(biāo)為(5,).

綜上所述,點(diǎn)F的坐標(biāo)為(7,)(5,).

(3)∵點(diǎn)Px軸上,

根據(jù)菱形的對(duì)稱性可知點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0).

如圖,當(dāng)MNx軸上方時(shí),設(shè)T為菱形對(duì)角線的交點(diǎn).

PQ=MN,

MT=2PT.

設(shè)TP=n,則MT=2n. ∴M(2+2nn).

點(diǎn)M在拋物線上,

,即.

解得(舍去).

MN=2MT=4n=.

當(dāng)MNx軸下方時(shí),設(shè)TP=n,得M(2+2n,-n).

點(diǎn)M在拋物線上,

,

.

解得(舍去).

MN=2MT=4n=.

綜上所述,菱形對(duì)角線MN的長(zhǎng)為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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乙運(yùn)動(dòng)員成績(jī)統(tǒng)計(jì)表(單位:環(huán))

1

2

3

4

5

8

10

8

6

(1)甲運(yùn)動(dòng)員前5箭射擊成績(jī)的眾數(shù)是 環(huán),中位數(shù)是 環(huán);

(2)求乙運(yùn)動(dòng)員第5次的成績(jī);

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