Question

5．如圖，菱形ABCD，∠ABC=120°，點P是AC上一動點，M、N分別是AB、BC的中點，若PM+PN的最小值為2，則對角線AC的長是2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 本題作點M關(guān)于AC的對稱點M′，根據(jù)軸對稱性找出點P的位置，從而求出菱形的邊長，然后分別求出菱形的兩條對角線的長度．

解答 解：作M點關(guān)于AC的對稱點M′，連接M′N，則與AC的交點P′即是P點的位置．
∵點M、N分別是邊AB、BC的中點，
∴MN是△ABC的中位線，當PM+PN最小時P在AC的中點，
此時，AB=PM+PN=2，
∵∠ABC=120°，
∴∠ABD=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
連接BD，則BD=AB=2，
AC=2MN=2$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
故答案是：2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查軸菱形的性質(zhì)、對稱--最短路線問題及菱形的性質(zhì)．正確確定P點的位置是解題的關(guān)鍵．