Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交AC于E，交BC于D．
（1）求證：D是BC的中點(diǎn)；
（2）求證：△BEC∽△ADC；
（3）若CE=5，BD=6.5，求AB的長．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),圓周角定理

專題：

分析：（1）根據(jù)圓周角定理的推論得到∠BDA=90°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到BD=CD；
（2）根據(jù)有兩對角相等的兩個(gè)三角形相似證明即可；
（3）由（2）中的三角形相似可得到關(guān)于AC的比例式，AC可求，進(jìn)而求出AB的長．

解答：（1）證明：
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠BDA=90°，
∴AD⊥BC．
∵AB=AC．
∴BD=CD，
∴D是BC的中點(diǎn)；
（2）∵AB=AC，
∴∠C=∠ABD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠BEC=90°，
∴△BEC∽△ADC；
（3）∵△BEC∽△ADC，
∴CE：BD=BC：AC，
∵CE=5，BD=6.5，
∴BC=2BD=13，
∴5：6.5=13：AC，
∴AC=16.9，
∴AB=AC=16.9．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角為直角．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．