【題目】我們知道平行四邊形有很多性質(zhì).

現(xiàn)在如果我們把平行四邊形沿著它的一條對(duì)角線翻折,會(huì)發(fā)現(xiàn)這其中還有更多的結(jié)論.

(發(fā)現(xiàn)與證明)ABCD中,AB≠BC,將△ABC沿AC翻折至△AB′C,連結(jié)B′D.

結(jié)論1B′D∥AC;

結(jié)論2△AB′CABCD重疊部分的圖形是等腰三角形.

……

請(qǐng)利用圖1證明結(jié)論1或結(jié)論2(只需證明一個(gè)結(jié)論).

(應(yīng)用與探究)在ABCD中,已知∠B=30°,將△ABC沿AC翻折至△AB′C,連結(jié)B′D.

1)如圖1,若,則∠ACB= °,BC= ;

2)如圖2,BC=1,AB′與邊CD相交于點(diǎn)E,求△AEC的面積;

3)已知,當(dāng)BC長(zhǎng)為多少時(shí),是△AB′D直角三角形?

【答案】【發(fā)現(xiàn)與證明】證明見解析;【應(yīng)用與探究】(1) 45,;(2;(36,2, 43.

【解析】

試題【發(fā)現(xiàn)與證明】根據(jù)翻折對(duì)稱的性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得證.

【應(yīng)用與探究】(1)∵△ABC沿AC翻折至△AB′C∠B=30°,∴∠AB′C=∠B=30°.

,∴∠CB′D=45°.

由【發(fā)現(xiàn)與證明】的結(jié)論,B′D∥AC,

∴∠ACB=∠ACB′=∠C B′D=45°.

如答圖7,A點(diǎn)作AP⊥BC于點(diǎn)P,

∵∠B=30°,,

.

∵∠ACB=45°,∴.

.

(2)C點(diǎn)分別作CG⊥ABCH⊥A B′,垂足分別為G、H,應(yīng)用含30度直角三角形的性質(zhì)和勾股定理AECH的長(zhǎng)即可求出△AEC的面積.

(3)∠B′AD="90°," ∠AB′D=90°∠ADB′=90°三種情況討論即可.

試題解析:解:【發(fā)現(xiàn)與證明】證明:如答圖1,設(shè)ADB′C相交于點(diǎn)F,

∵△ABC沿AC翻折至△AB′C,

∴△ABC≌△△AB′C,∠ACB=∠ACB′,BC= B′C.

四邊形ABCD是平行四邊形,

∴AD=BCAD∥BC.

∴B′C=AD,∠ACB=∠CAD.

.∴AF=CF.

∴B′F=DF.

.

∵∠AFC=∠B′FD,.∴B′D∥AC.

【應(yīng)用與探究】

145,.

2)如答圖2,過C點(diǎn)分別作CG⊥ABCH⊥AB′,垂足分別為G、H.

∴CG=CH.

Rt△BCG中,∠BGC=90°,BC=1,∠B=30°,

.

∴.

∵△AGC≌△AHC,∴.

設(shè)AE=CE=x,

由勾股定理得,,,解得.

∴△AEC的面積.

3)按△AB′D中的直角分類:

當(dāng)∠B′AD=90°時(shí),如答圖3,

∵∠B′DA=∠DAC=∠B=30°,AB′=,∴BC=AD=6.

如答圖4,

∵∠A B′D=∠B=30°,AB′=,∴BC=AD=2.

當(dāng)∠AB′D=90°時(shí),如答圖5,

∵∠B′AD=∠B=30°,AB′=,∴BC=AD=4.

當(dāng)∠ADB′=90°時(shí),如答圖6,

∵∠DAB′=∠A B′C=∠B=30°,AB′=,∴BC=AD=3.

綜上所述, 當(dāng)BC長(zhǎng)為6,2, 43時(shí),是△AB′D直角三角形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖1,在矩形中,BC=3,動(dòng)點(diǎn)出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度,沿射線方向移動(dòng),作關(guān)于直線的對(duì)稱,設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

1)若

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)B’落在AC上時(shí),顯然PCB’是直角三角形,求此時(shí)t的值

②是否存在異于圖2的時(shí)刻,使得PCB’是直角三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出所有符合題意的t的值?若不存在,請(qǐng)說明理由

2)當(dāng)P點(diǎn)不與C點(diǎn)重合時(shí),若直線PB’與直線CD相交于點(diǎn)M,且當(dāng)t3時(shí)存在某一時(shí)刻有結(jié)論∠PAM=45°成立,試探究:對(duì)于t3的任意時(shí)刻,結(jié)論∠PAM=45°是否總是成立?請(qǐng)說明理由.

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【題目】如圖,在菱形中,,以為坐標(biāo)原點(diǎn),以所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖.按以下步驟作圖:①分別以點(diǎn)為圓心,以大于的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn),②作直線于點(diǎn).則點(diǎn)的坐標(biāo)為( )

A.B.C.D.

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(1)判斷DE與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;

(2)求證:BC2=CD2OE;

(3)若cos∠BAD=,BE=6,求OE的長(zhǎng).

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【題目】6分)某商場(chǎng)統(tǒng)計(jì)了今年1~5月A,B兩種品牌冰箱的銷售情況,并將獲得的數(shù)據(jù)繪制成折線統(tǒng)計(jì)圖

(1)分別求該商場(chǎng)這段時(shí)間內(nèi)A,B兩種品牌冰箱月銷售量的中位數(shù)和方差;

(2)根據(jù)計(jì)算結(jié)果,比較該商場(chǎng)1~5月這兩種品牌冰箱月銷售量的穩(wěn)定性.

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如圖1,當(dāng)折疊后點(diǎn)B和點(diǎn)A重合時(shí),用直尺和圓規(guī)作出直線DE;不寫作法和證明,保留作圖痕跡

如圖2,當(dāng)折疊后點(diǎn)B落在AC邊上點(diǎn)P處,且四邊形PEBD是菱形時(shí),求折痕DE的長(zhǎng).

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1)求證:AECE;

2)若sinABD,當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí),若BP4,求△PEC的面積;

3)若∠ABC45°,當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí),請(qǐng)直接寫出△PEC是等腰三角形時(shí)BP的長(zhǎng).

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【題目】如圖,矩形紙片,,點(diǎn)邊上,將沿折疊,點(diǎn)落在點(diǎn)處,、分別交于點(diǎn),且,則的值為(

A.B.C.D.

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1)求證:四邊形 BFDE 是矩形;

2)若 AF 平分∠BAD,交DE與H點(diǎn),且 AB=3AE,BF=6,求AH的長(zhǎng).

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