Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點，其中A點坐標為（-1，0），線段AB=6，，M為拋物線的頂點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求△MCB的面積；
（3）若點D為線段BM上任一點（點D不與點B重合，可與點M重合），過點D作垂直于x軸的直線x=t，交拋物線于點E，交線段BC于點F．
①求當t為何值時，線段DE有最大值？最大值是多少？
②是否存在這樣的點D，使得？若存在，求出D點的坐標；若不存在，則請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵A（-1，0），AB=6，
∴OB=5，
∴B的坐標為（5，0），
∵sin∠ABC=，
∴∠ABC=45°，
∴CO=BO=5，
∴C的坐標是（0，5），
把A、B、C代入得：，
解得：，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+4x+5；

（2）
∵M為頂點，
∴x=-=2，
∴y=9，
∴M的坐標為（2，9），
∴S_△BCM=S_△MCB=S_梯形COHM+S_△MHB-S_△OBC=（5+9）×2×+（5-2）×9×-5×5×=15；

（3）①設BM的解析式為：y=kx+b（k≠0），
將點B、點M的坐標代入可得：，
解得：，
∴y=-3x+15，
∵EF⊥AB，
∴x_E=x_D=t，
∴ED=-t²+4t+5-（-3t+15）=-t²+7t-10，
∴t=-=3.5，
∴ED_最大=；
②設BC的解析式為：y=mx+n（m≠0），
將點B、點C的坐標代入可得：，
解得：，
∴y=-x+5，
∴ED=-t²+7t-10，F(xiàn)D=-2t+10，
當=時，2（-t²+7t-10）=-2t+10，
解得：t₁=3，t₂=5（與B重合舍去），
∴D的坐標為（3，6）．
分析：（1）求出OB的長度，得出點B的坐標，再由sin∠ABC=，得出∠ABC=45°，CO=BO=5，從而得出點C的坐標，利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；
（2）過點M作MH⊥x軸于點H，根據(jù)S_△MCB=S_梯形COHM+S_△MHB-S_△OBC，即可得出△MCB的面積；
（3）①求出直線BM的解析式，點E的縱坐標減去點D的縱坐標，可得出DE關于t的表達式，求出最值即可；
②求出直線BC的解析式，表示出FD的長度，再由，可得關于t的方程，解出即可．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形的面積及配方法求二次函數(shù)的最值，同學們需要培養(yǎng)自己解答綜合題的能力，將所學知識融會貫通．