Question

【題目】如圖，已知矩形OABC的一個(gè)頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，2），反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象經(jīng)過矩形的對(duì)稱中心E，且與邊BC交于點(diǎn) D．

（1）求反比例函數(shù)的解析式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）若過點(diǎn)D的直線y=mx+n將矩形OABC的面積分成3：5的兩部分，求此直線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）反比例函數(shù)解析式為y=，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2）；

（2）直線的解析式為y=﹣2x+4或y=﹣x+．

【解析】

試題（1）根據(jù)中心對(duì)稱求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)解析式求出k，然后根據(jù)點(diǎn)D的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相等代入求解即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）設(shè)直線與x軸的交點(diǎn)為F，根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)求出CD，再根據(jù)梯形的面積分兩種情況求出OF的長，然后寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線解析式即可．

試題解析：（1）∵矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，2），E是矩形ABCD的對(duì)稱中心，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，1），

代入反比例函數(shù)解析式得，=1，

解得k=2，

∴反比例函數(shù)解析式為y=，

∵點(diǎn)D在邊BC上，

∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為2，

∴y=2時(shí)，=2，

解得x=1，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2）；

（2）如圖，

設(shè)直線與x軸的交點(diǎn)為F，

矩形OABC的面積=4×2=8，

∵矩形OABC的面積分成3：5的兩部分，

∴梯形OFDC的面積為×8=3，

或×8=5，

∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2），

∴若（1+OF）×2=3，

解得OF=2，

此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，0），

若（1+OF）×2=5，

解得OF=4，

此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，0），與點(diǎn)A重合，

當(dāng)D（1，2），F（2，0）時(shí)，，

解得，

此時(shí)，直線解析式為y=﹣2x+4，

當(dāng)D（1，2），F（4，0）時(shí)，，

解得，

此時(shí)，直線解析式為y=﹣x+，

綜上所述，直線的解析式為y=﹣2x+4或y=﹣x+．