Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（x1，0）、B（x2，0），與y軸交于點C（0，﹣x2），且x1＜0＜x2， ，△ABC的面積為6.

（1）求拋物線的解析式；

（2）在x軸下方的拋物線上是否存在一點M，使四邊形ABMC的面積最大？若存在，請求出點M的坐標和四邊形ABMC的面積最大值；若不存在，請說明理由；

（3）E為拋物線的對稱軸上一點，拋物線上是否存在一點D，使以B、C、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-2x-3（2）（3）D1 （4，5），D2 （-2，5），D3 （2，-3）

【解析】

（1）根據(jù)題意求出A，B，C點的坐標，并將其代入y=ax2+bx+c即可求出解析式；

（2）當點M在x軸下方的拋物線上時，連接OM，CM，BM，設(shè)點M（a，a2-2a-3），則S四邊形ABMC=S△AOC+S△OCM+S△OBM，用含a的代數(shù)式表示出S的值，利用函數(shù)的思想即可求出其最大值，進一步寫出點M的坐標；

（3）分類討論存在平行四邊形的情況，分別畫出圖形，利用平行四邊形的性質(zhì)及平移規(guī)律即可求出點D坐標．

（1）由題意得，

∵S△ABC＝6，

∴

∴x12=1

∵x1＜0＜x2，

∴x1＝﹣1，x2＝3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），

拋物線為y＝ax2+bx+c的圖像經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）

∴

解得：

∴拋物線的解析式為：

（2）如圖1，當點M在x軸下方的拋物線上時，連接OM，CM，BM，

設(shè)點M（a，a2-2a-3），

則S四邊形ABMC=S△AOC+S△OCM+S△OBM

=×1×3+×3a+×3（-a2+2a+3）

=-（a-）2+，

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當a=時，S有最大值，S最大=，

∴M（，-），四邊形ABMC的面積最大值為；

（3）∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，

∴對稱軸為直線x=1，

如圖2-1，當四邊形ECBD為平行四邊形時，DE∥BC，DE=BC，

∴xD-xE=xB-xC=3，

∵xE=1，

∴xD=4，

∴D（4，5）；

如圖2-2，當四邊形DCBE為平行四邊形時，DE∥BC，DE=BC，

∴xE-xD=xB-xC=3，

∵xE=1，

∴xD=-2，

∴D（-2，5）；

如圖2-3，當四邊形ECDB為平行四邊形時，BE∥DC，BE=DC，

∴xE+xD=xB+xC=3，

∵xE=1，

∴xD=2，

∴D（2，-3）；

綜上所述點D坐標為（4，5），（-2，5）或（2，-3）．