Question

10．如圖，四邊形ABCD是矩形，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，BE∥AC交DC的延長線于點(diǎn)E，連接OE．
（1）求證：BD=BE；
（2）若BO=AB，試判斷線段OE、OD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的對角線相等可得AC=BD，對邊平行可得AB∥CD，再求出四邊形ABEC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對邊相等可得AC=BE，從而得證．
（2）由矩形的性質(zhì)和已知條件證出△AOB是等邊三角形，得出∠ABO=60°，再證明△BDE是等邊三角形，然后運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AB∥CD，
又∵BE∥AC，
∴四邊形ABEC是平行四邊形，
∴AC=BE，
∴BD=BE．
（2）解：OE=$\sqrt{3}$OD；理由如下：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AB∥CD，BO=DO=$\frac{1}{2}$BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，
∴OA=BO，
∵BO=AB，
∴BO=AB=OA，即△AOB是等邊三角形，
∴∠ABO=60°，
∵AB∥CD，
∴∠BDE=∠ABO=60°，
由（1）得：BD=BE，
∴△BDE是等邊三角形，
又∵BO=DO，
∴OE⊥BD，
∴OE=$\sqrt{3}$OD．

點(diǎn)評 本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明△BDE是等邊三角形是解決問題（2）的關(guān)鍵．