Question

某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)借鑒課本研究二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的經(jīng)驗(yàn)，繼續(xù)研究函數(shù)y=x⁴-2x²-1．
探索研究
（1）先探究函數(shù)y=x⁴-2x²-1的圖象與性質(zhì)．
①填寫(xiě)下表，畫(huà)出該函數(shù)的圖象：

x	…	-2	-	-1	-	0		1		2	…
y	…										…

②觀(guān)察圖象，寫(xiě)出該函數(shù)兩條不同類(lèi)型的性質(zhì)；
③在求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的最大（小）值時(shí)，除了通過(guò)觀(guān)察圖象，還可以通過(guò)配方得到．請(qǐng)你通過(guò)配方求函數(shù)y=x⁴-2x²-1 的最大或最小值．
解決問(wèn)題
（2）設(shè)平行于x軸的直線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，k），試討論函數(shù)y=x⁴-2x²-1的圖象與該平行于x軸的直線(xiàn)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．（直接寫(xiě)出答案）

Answer 1

解：（1）①填表如下：

x	…	-2	-	-1	-	0		1		2	…
y	…	7	-	-2	-	-1	-	-2	-	7	…

畫(huà)圖如下：

②函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；
函數(shù)圖象有兩個(gè)最低點(diǎn)；
當(dāng)-1≤x≤0或x≥1時(shí)，y隨x的增大而增大；
當(dāng)0≤x≤1或x≤-1時(shí)，y隨x的增大而減��；
函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)．
③y=（x²-1）²-2，
當(dāng)x²-1=0時(shí)，即x=±1時(shí)，函數(shù)y有最小值-2．

（2）當(dāng)k=-2或k＞-1時(shí)，平行于x軸的直線(xiàn)與 函數(shù)y=x⁴-2x²-1的圖象有2個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)k=-1時(shí)，平行于x軸的直線(xiàn)與函數(shù)y=x⁴-2x²-1的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)-2＜k＜-1時(shí)，平行于x軸的直線(xiàn)與函數(shù)y=x⁴-2x²-1的圖象有4個(gè)公共點(diǎn)．
分析：探索研究：
（1）①利用代入法，即可求出x與y的對(duì)應(yīng)值，畫(huà)出圖象即可；
②利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答；
③利用配方法求出函數(shù)最值即可；
解決問(wèn)題：
（2）分當(dāng)k=-2或k＞-1時(shí)，當(dāng)k=-1時(shí)，當(dāng)-2＜k＜-1時(shí)．三種情況討論可得函數(shù)y=x⁴-2x²-1的圖象與該平行于x軸的直線(xiàn)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有函數(shù)圖象的畫(huà)法和函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)最值問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．