Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC＝30°，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到△AED，點(diǎn)B、C的對應(yīng)點(diǎn)分別是E、D.

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E恰好在AC上時(shí)，求∠CDE的度數(shù)；

(2)如圖2，若=60°時(shí)，點(diǎn)F是邊AC中點(diǎn)，求證：四邊形BFDE是平行四邊形.

Answer 1

【答案】（1）15°；（2）證明見解析.

【解析】

（1）如圖1，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CA＝DA，∠CAD＝∠BAC＝30°，∠DEA＝∠ABC＝90°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠ADC，從而計(jì)算出∠CDE的度數(shù)；

（2）如圖2，利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到BF＝AC，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到BC＝AC，則BF＝BC，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠BAE＝∠CAD＝60°，AB＝AE，AC＝AD ，DE＝BC，從而得到DE＝BF，△ACD和△BAE為等邊三角形，接著由△AFD≌△CBA得到DF＝BA，然后根據(jù)平行四邊形的判定方法得到結(jié)論．

解：（1）如圖1，∵△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到△AED，點(diǎn)E恰好在AC上，

∴CA＝CD，∠CAD＝∠BAC＝30°，∠DEA＝∠ABC＝90°，

∵CA＝DA，

∴∠ACD＝∠ADC＝（180°30°）＝75°，∠ADE=90°-30°=60°，

∴∠CDE＝75°60°＝15°；

（2）證明：如圖2，

∵點(diǎn)F是邊AC中點(diǎn)，

∴BF＝AC，

∵∠BAC＝30°，

∴BC＝AC，

∴BF＝BC，

∵△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AED，

∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AB＝AE，AC＝AD，DE＝BC，

∴DE＝BF，△ACD和△BAE為等邊三角形，

∴BE＝AB，

∵點(diǎn)F為△ACD的邊AC的中點(diǎn)，

∴DF⊥AC，

易證得△AFD≌△CBA，

∴DF＝BA，

∴DF＝BE，

而BF＝DE，

∴四邊形BEDF是平行四邊形．