(2009•紹興)定義一種變換:平移拋物線F1得到拋物線F2,使F2經(jīng)過F1的頂點A.設(shè)F2的對稱軸分別交F1,F(xiàn)2于點D,B,點C是點A關(guān)于直線BD的對稱點.

(1)如圖1,若F1:y=x2,經(jīng)過變換后,得到F2:y=x2+bx,點C的坐標為(2,0),則:
①b的值等于______;
②四邊形ABCD為( )
A、平行四邊形;B、矩形;C、菱形;D、正方形.
(2)如圖2,若F1:y=ax2+c,經(jīng)過變換后,點B的坐標為(2,c-1),求△ABD的面積;
(3)如圖3,若F1:y=x2-x+,經(jīng)過變換后,AC=2,點P是直線AC上的動點,求點P到點D的距離和到直線AD的距離之和的最小值.
【答案】分析:(1)已知F2的解析式,把已知坐標代入即可得出b的值;
(2)在(1)的基礎(chǔ)上求出S△ABD
(3)要分情況討論點C在點A的左邊還是右邊,作PH⊥AD交AD于點H,則PD+PH=PB+PH,是PB+PH值最小可求出h的最小值.
解答:解:(1)-2;D;

(2)∵F2:y=a(x-2)2+c-1,
而A(0,c)在F2上,可得a=
∴DB=(4a+c)-(c-1)=2,
∴S△ABD=2;

(3)當(dāng)點C在點A的右側(cè)時(如圖1),
設(shè)AC與BD交于點N,
拋物線y=x2-x+,配方得y=(x-1)2+2,
其頂點坐標是A(1,2),
∵AC=2
∴點C的坐標為(1+2,2).
∵F2過點A,
∴F2解析式為y=(x-1-2+1,
∴B(1+,1),
∴D(1+,3)
∴NB=ND=1,
∵點A與點C關(guān)于直線BD對稱,
∴AC⊥DB,且AN=NC
∴四邊形ABCD是菱形.
∴PD=PB.
作PH⊥AD交AD于點H,則PD+PH=PB+PH.
要使PD+PH最小,即要使PB+PH最小,
此最小值是點B到AD的距離,即△ABD邊AD上的高h.
∵DN=1,AN=,DB⊥AC,
∴∠DAN=30°,
故△ABD是等邊三角形.
∴h=AD=
∴最小值為
當(dāng)點C在點A的左側(cè)時(如圖2),同理,最小值為
綜上,點P到點D的距離和到直線AD的距離之和的最小值為
點評:本題綜合考查的是考生的作圖能力以及二次函數(shù)的靈活運用,難度較大.
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(3)如圖3,若F1:y=x2-x+,經(jīng)過變換后,AC=2,點P是直線AC上的動點,求點P到點D的距離和到直線AD的距離之和的最小值.

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