Question

已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，連接BE、CE，∠BEC=90°．
（1）求證：BE平分∠ABC；
（2）若EC=4，且，求四邊形ABCE的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）取BC的中點(diǎn)F，連接EF，要證明BE平分∠ABC，只需證明四邊形ABFE為菱形，因?yàn)锳E和BF既平行又相等，可先證平行四邊形，又因?yàn)橹苯侨�角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證EF=FB，即四邊形ABFE為菱形，利用菱形的性質(zhì)可知對角線平分對角，從而得出結(jié)論；
（2）由圖象可知四邊形ABCE為梯形，所以要求面積，必須求出上下底和高，而上下底和高都可利用題中已知條件，借助于三角函數(shù)來求出．
解答：（1）證明：取BC的中點(diǎn)F，連接EF．
∵E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AE∥BF，即四邊形ABFE為平行四邊形．（1分）
又∵∠BEC=90°，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，
∴EF=BC=BF．（2分）
∴四邊形ABFE為菱形．（3分）
∴BE平分∠ABC．（4分）

（2）解：過點(diǎn)E作EH⊥BC，垂足為H．
∵四邊形ABFE為菱形，
∴AB=BF=．（5分）
∴BE=AB，
∵
又∵∠BEC=90°，
∴∠BCE=60度．（6分）
∵BC=2EC=8，EH=EC•sin60°=4×．（8分）
∴S_{四邊形ABCE}=（AE+BC）•EH=（8+4）×2．（9分）
點(diǎn)評：此題考查了菱形的判定以及三角函數(shù)的應(yīng)用，考查比較全面，難易程度適中．