【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=x2+bx+c與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)B的坐標(biāo)為3,0,直線y=﹣x+3恰好經(jīng)過(guò)B,C兩點(diǎn)

1寫出點(diǎn)C的坐標(biāo);

2求出拋物線y=x2+bx+c的解析式,并寫出拋物線的對(duì)稱軸和點(diǎn)A的坐標(biāo);

3點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上,拋物線頂點(diǎn)為D且APD=ACB,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】1C0,3;2y=x2﹣4x+3=x-1)(x-3,對(duì)稱軸為x=2,點(diǎn)A1,032,22,﹣2

【解析】

試題分析:1由直線y=﹣x+3可求出C點(diǎn)坐標(biāo);

2由B,C兩點(diǎn)坐標(biāo)便可求出拋物線方程,從而求出拋物線的對(duì)稱軸和A點(diǎn)坐標(biāo);

3作出輔助線OE,由三角形的兩個(gè)角相等,證明AEC∽△AFP,根據(jù)兩邊成比例,便可求出PF的長(zhǎng)度,從而求出P點(diǎn)坐標(biāo).

試題解析:1y=﹣x+3與y軸交于點(diǎn)C,故C0,3

2拋物線y=x2+bx+c過(guò)點(diǎn)B,C,

,

解得,

拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3=x﹣1×x﹣3,

對(duì)稱軸為x=2,點(diǎn)A1,0

3由y=x2﹣4x+3,

可得D2,﹣1,A1,0,

OB=3,OC=3,OA=1,AB=2,

可得OBC是等腰直角三角形,

∴∠OBC=45°,

如圖,設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)F,

AF=AB=1.

過(guò)點(diǎn)A作AEBC于點(diǎn)E.

∴∠AEB=90度.

可得

AEC與AFP中,AEC=AFP=90°,ACE=APF,

∴△AEC∽△AFP.

解得PF=2.

或者直接證明ABC∽△ADP得出PD=3,

再得PF=2.

點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上,

點(diǎn)P的坐標(biāo)為2,22,﹣2

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