Question

如圖，反比例函數y=

k

x

（x＜0）圖象上有兩點A和B，點C在x軸上，AC⊥BC，AC=BC，B到x軸距離是1，點A到y軸距離是2+

3

，求∠1的度數．

Answer 1

考點：反比例函數綜合題,全等三角形的判定與性質,特殊角的三角函數值

專題：

分析：過點A作AE⊥x軸于點E，過點B作BF⊥x軸于點F，易證△FBC≌△ECA，則有FC=EA，BF=CE．設FC=x，由題可得到點A、B的坐標（用含有x的式子表示），依據“點A、B都在反比例函數y=

k

x

（x＜0）圖象上”建立關于x的方程，求出x，然后解Rt△BFC就可求出∠1的度數．

解答：解：過點A作AE⊥x軸于點E，過點B作BF⊥x軸于點F，如圖，
則有∠BFC=∠CEA=90°．
∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，
∴∠FBC=90°-∠FCB=∠ECA．
在△FBC和△ECA中，

∠FBC=∠ECA ∠BFC=∠CEA BC=CA

，
∴△FBC≌△ECA，
∴FC=EA，BF=CE．
∵B到x軸距離是1，
∴CE=BF=1．
設FC=x，則EA=x．
∵點A到y軸距離是2+

3

，
∴點A的坐標為（-2-

3

，x），
點B的坐標為（-2-

3

-1-x，1）．
∵點A、B都在反比例函數y=

k

x

（x＜0）圖象上，
∴（-2-

3

）x=（-2-

3

-1-x）×1，
即（2+

3

）x=2+

3

+1+x，
整理得：（1+

3

）x=3+

3

，
解得：x=

3

．
在Rt△BFC中，
tan∠1=

BF

FC

=

1

3

=

3

3

，
∴∠1=30°．

點評：本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，全等三角形的判定與性質、解一元一次方程、三角函數等知識，構造K型全等（△FBC≌△ECA）是解決本題的關鍵．