Question

如圖，已知⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為G，F(xiàn)是CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AF交⊙O于點(diǎn)E，連接CE．若CF=10，

AC

AF

=

4

5

，求CE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：連接AD，易證△FAD∽△FCE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊的比相等，得到

AF

CF

=

AD

CE

，即

AD

AF

=

CE

CF

，再根據(jù)垂徑定理得到AD=AC，就可以求出CE的長(zhǎng)．

解答：解：方法一：連接AD，（1分）
∵∠EAD=∠ECD，∠F=∠F，
∴△FAD∽△FCE，（5分）
∴

AF

CF

=

AD

CE

，即

AD

AF

=

CE

CF

，
∵直徑AB垂直于弦CD，
∴

AD

=

AC

，∴AD=AC，
又∵

AC

AF

=

4

5

，∴

AD

AF

=

4

5

，

CE

CF

=

4

5

，（8分）
又∵CF=10，∴CE=8；（10分）

方法二：∵直徑AB垂直于弦CD，
∴

AD

=

AC

，∴∠AEC=∠ACF，
又∵∠EAC=∠FAC，
∴△AEC∽△ACF，（5分）
∴

AC

AF

=

CE

CF

，又∵

AC

AF

=

4

5

，∴

CE

CF

=

4

5

，（8分）
又∵CF=10，
∴CE=8．  （10分）

點(diǎn)評(píng)：本題根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，證出三角形相似，利用垂徑定理就可以求出所要求的結(jié)論．