Question

如圖①，△ABC內(nèi)接于⊙O，點P是△ABC的內(nèi)切圓的圓心，AP交邊BC于點D，交⊙O于點E，經(jīng)過點E作⊙O的切線分別交AB、AC延長線于點F、G．
（1）求證：BC∥FG；
（2）探究：PE與DE和AE之間的關(guān)系；
（3）當(dāng)圖①中的FE=AB時，如圖②，若FB=3，CG=2，求AG的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BE．構(gòu)造了一對內(nèi)錯角，根據(jù)三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點，結(jié)合弦切角定理和圓周角定理的推論即可證明內(nèi)錯角相等，從而證明平行；
（2）連接BP．根據(jù)三角形的內(nèi)心的概念以及三角形的外角的性質(zhì)，可以得到一個等腰三角形，即BE=PE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可以把要找的線段之間的關(guān)系聯(lián)系起來；
（3）結(jié)合（2）的結(jié)論首先求得AB的長，再根據(jù)平行線分線段成比例定理求得AG的長．
解答：（1）證明：連接BE，
∵點P是△ABC的內(nèi)心，
∴∠BAD=∠CAD．
又∵FG切⊙O于E，
∴∠BEF=∠BAD．
又∵∠DBE=∠CAD，
∴∠BEF=∠DBE．
∴BC∥FG．

（2）解：連接BP，
則∠ABP=∠CBP．
∵∠BPE=∠BAP+∠ABP=∠PBC+∠EBD，
∴∠BPE=∠PBE．
∴BE=PE．
在△ABE和△BDE中，
∠BAE=∠EBD，∠BED=∠AEB，
∴△ABE∽△BDE．
∴=．
∴BE²=AE•DE．
∴PE²=AE•DE．

（3）解：∵FE²=FB•FA=FB（FB+AB），
而FE=AB，
∴AB²=3（3+AB）．
設(shè)AB=x，則x²-3x-9=0，
解之得x=．
∴AB=（取正值）．
由（1）在△AFG中，BC∥FG，
∴．
∴AC==×=1+．
∴AG=AC+CG=3+．
點評：綜合運用了三角形的內(nèi)心的概念、弦切角定理、圓周角定理的推論、相似三角形的判定和性質(zhì)．