【題目】直線MN與直線PQ垂直相交于O,點A在直線PQ上運動,點B在直線MN上運動.
(1)如圖1,已知AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線,點A,B在運動的過程中,∠AEB的大小是否會發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請說明變化的情況;若不發(fā)生變化,試求出∠AEB的大。
(2)如圖2,已知AB不平行CD,AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線,又DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線,點A,B在運動的過程中,∠CED的大小是否會發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請說明理由;若不發(fā)生變化,試求出其值.
(3)如圖3,延長BA至G,已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線及延長線相交于E,F(xiàn),在△AEF中,如果有一個角是另一個角的3倍,試求∠ABO的度數(shù).

【答案】
(1)解:∠AEB的大小不變,

∵直線MN與直線PQ垂直相交于O,

∴∠AOB=90°,

∴∠OAB+∠OBA=90°,

∵AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線,

∴∠BAE= ∠OAB,∠ABE= ∠ABO,

∴∠BAE+∠ABE= (∠OAB+∠ABO)=45°,

∴∠AEB=135°


(2)解:∠CED的大小不變.

延長AD、BC交于點F.

∵直線MN與直線PQ垂直相交于O,

∴∠AOB=90°,

∴∠OAB+∠OBA=90°,

∴∠PAB+∠MBA=270°,

∵AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線,

∴∠BAD= ∠BAP,∠ABC= ∠ABM,

∴∠BAD+∠ABC= (∠PAB+∠ABM)=135°,

∴∠F=45°,

∴∠FDC+∠FCD=135°,

∴∠CDA+∠DCB=225°,

∵DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線,

∴∠CDE+∠DCE=112.5°,

∴∠E=67.5°


(3)解:∵∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E,

∴∠EAO= ∠BAO,∠EOQ= ∠BOQ,

∴∠E=∠EOQ﹣∠EAO= (∠BOQ﹣∠BAO)= ∠ABO,

∵AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線,

∴∠EAF=90°.

在△AEF中,

∵有一個角是另一個角的3倍,故有:

①∠EAF=3∠E,∠E=30°,∠ABO=60°;

②∠EAF=3∠F,∠E=60°,∠ABO=120°;

③∠F=3∠E,∠E=22.5°,∠ABO=45°;

④∠E=3∠F,∠E=67.5°,∠ABO=135°.

∴∠ABO為60°或45°


【解析】(1)根據(jù)直線MN與直線PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°,再由AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線得出∠BAE= ∠OAB,∠ABE= ∠ABO,由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論;(2)延長AD、BC交于點F,根據(jù)直線MN與直線PQ垂直相交于O可得出∠AOB=90°,進(jìn)而得出∠OAB+∠OBA=90°,故∠PAB+∠MBA=270°,再由AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線,可知∠BAD= ∠BAP,∠ABC= ∠ABM,由三角形內(nèi)角和定理可知∠F=45°,再根據(jù)DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線可知∠CDE+∠DCE=112.5°,進(jìn)而得出結(jié)論;(3)由∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E可知∠EAO= ∠BAO,∠EOQ= ∠BOQ,進(jìn)而得出∠E的度數(shù),由AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線可知∠EAF=90°,在△AEF中,由一個角是另一個角的3倍分四種情況進(jìn)行分類討論.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解三角形的“三線”的相關(guān)知識,掌握1、三角形角平分線的三條角平分線交于一點(交點在三角形內(nèi)部,是三角形內(nèi)切圓的圓心,稱為內(nèi)心);2、三角形中線的三條中線線交于一點(交點在三角形內(nèi)部,是三角形的幾何中心,稱為中心);3、三角形的高線是頂點到對邊的距離;注意:三角形的中線和角平分線都在三角形內(nèi),以及對三角形的內(nèi)角和外角的理解,了解三角形的三個內(nèi)角中,只可能有一個內(nèi)角是直角或鈍角;直角三角形的兩個銳角互余;三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和;三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.

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(1)在政府未出臺補(bǔ)貼措施前,該商場銷售彩電的總收益額為多少元?

(2)在政府補(bǔ)貼政策實施后,分別求出該商場銷售彩電臺數(shù)y和每臺家電的收益z與政府補(bǔ)貼款額x之間的函數(shù)關(guān)系式;

(3)要使該商場銷售彩電的總收益w(元)最大,政府應(yīng)將每臺補(bǔ)貼款額x定為多少并求出總收益w的最大值。

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(2)如圖2,在(1)的條件下ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°時,請你判斷此時(1)中的結(jié)論是否仍然成立,并證明你的判斷

(3)如圖3,在(1)的條件下ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°時,若AD=1,AC=,求此時線段CF的長(直接寫出結(jié)果).

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