Question

如圖，已知拋物線經(jīng)過A（－3，0），B（1，0），C（0，3）三點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸是直線l，l與x軸交于點(diǎn)H．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P是該拋物線對(duì)稱軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△PBC周長的最小值；

（3）如圖（2），若E是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（ E與A、D不重合），過E點(diǎn)作平行于y軸的直線交拋物線于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)G，設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，△ADF的面積為S．

①求S與m的函數(shù)關(guān)系式；

②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)； 若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵拋物線經(jīng)過A（－3，0），B（1，0），

                 ∴可設(shè)拋物線交點(diǎn)式為。

                 又∵拋物線經(jīng)過C（0，3），∴。

∴拋物線的解析式為：，即。

（2）∵△PBC的周長為：PB+PC+BC，且BC是定值。

∴當(dāng)PB+PC最小時(shí)，△PBC的周長最小。

∵點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸I對(duì)稱，

∴連接AC交l于點(diǎn)P，即點(diǎn)P為所求的點(diǎn)。

∵AP=BP，∴△PBC的周長最小是：PB+PC+BC=AC+BC。

∵A（－3，0），B（1，0），C（0，3），∴AC=3，BC=。

∴△PBC的周長最小是：。

（3）①∵拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，4），A（﹣3，0），

∴直線AD的解析式為y=2x+6

∵點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，∴E（m，2m+6），F(xiàn)（m，）

∴。

∴。

∴S與m的函數(shù)關(guān)系式為。

②，

∴當(dāng)m=﹣2時(shí)，S最大，最大值為1，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣2，2）。

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過的三點(diǎn)，用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可。

（2）根據(jù)BC是定值，得到當(dāng)PB+PC最小時(shí)，△PBC的周長最小，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求得相應(yīng)線段的長即可。

（3）設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，表示出E（m，2m+6），F(xiàn)（m，），最后表示出EF的長，從而表示出S于m的函數(shù)關(guān)系，然后求二次函數(shù)的最值即可。