【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,點P從點A出發(fā),以每秒4個單位長度的速度沿折線AC-CB運動,到點B停止.當點P不與△ABC的頂點重合時,過點P作其所在直角邊的垂線交AB 于點Q,再以PQ為斜邊作等腰直角三角形△PQR,且點R與△ABC的另一條直角邊始終在PQ同側,設△PQR與△ABC重疊部分圖形的面積為S(平方單位).點P的運動時間為t(秒).

(1)求點P在AC邊上時PQ的長,(用含t的代數(shù)式表示);
(2)求點R到AC、PQ所在直線的距離相等時t的取值范圍;
(3)當點P在AC邊上運動時,求S與t之間的函數(shù)關系式;
(4)直接寫出點R落在△ABC高線上時t的值.

【答案】
(1)解:如圖①,

由題意可知AP=4t,

tanA= ,

∴PQ=3t;


(2)解:①當點P在AC邊上時,如圖①.

∵∠RPQ=45°,∠CPQ=90°,

∴∠CPR=45°=∠RPQ,

∴點R到直線AC、PQ距離相等,

此時0<t<1.

②當點P在BC邊上時,過點R作RH⊥PQ于點H,如圖②,

則有PC=4t-4,PB=7-4t,

∵tanB= ,

∴PQ= PB= (7-4t).

由題可得:RH= PC.

∵RH= PQ,

∴PC=PQ,

∴4t-4= (7-4t),

解得:t=

綜上所述:0<t<1或t=


(3)解:①當0<t≤ 時,如圖①.

過點R作RH⊥PQ于點H,

S= PQRH= ×3t× = t2

②當 <t<1時,如圖③.

過點R作RH⊥PQ于點H,交BC于點G,

則有RG⊥MN,RH= PQ= t,GH=PC=4-4t,

∴S=S△RPQ-S△RMN= PQRH- MNRH

=RH2RG2=( t)2-[ t-(4-4t)]2

=-28t2+44t-16;


(4)解:點R落在△ABC高線上時,t的值為 , , .

可分以下幾種情況討論:如圖④~⑦

①點P在AC上,且點R在AB的高CH上,如圖④,

過點P作PG⊥CH于G,

易證△PGR≌△RHQ,則有PG=RH,GR=QH.

易求得AB=5,CH= ,AH= ,BH=

PC=4-4t,CG= PC= (4-4t),PG= PC= (4-4t),

AQ= AP=5t,QH=AH-AQ= -5t.

根據(jù)CH=CG+GR+RH=CG+QH+PG= ,得

(4-4t)+ -5t+ (4-4t)=

解得:t=

②點P在AC上,且點R在AC的高BC上,如圖⑤

過點R作RH⊥PQ于H,

易得PQ=2RH=2PC,PQ= AP=3t,PC=4-4t,

∴3t=2(4-4t),

解得:t=

③點P在BC上,且點R在BC的高AC上,如圖⑥,

過點R作RH⊥PQ于H,

易得PQ=2RH=2PC,PQ= PB= (7-4t),PC=4t-4,

(7-4t)=2(4t-4),

解得:t=

④點P在BC上,且點R在AB的高CH上,如圖⑦,

過點P作PG⊥CH于G,

易證△PGR≌△RHQ,則有PG=RH,GR=QH.

易證△CGP∽△CHB,

∵BC=3,CH= ,BH= ,CP=4t-4,

∴CG= PC= (4t-4),PG= PC= (4t-4),

同理可得QB= PB= (7-4t),QH=QB-BH= (7-4t)-

根據(jù)CH=CG+GH=CG+RH-RG=CG+PG-QH= ,得

(4t-4)+ (4t-4)-[ (7-4t)- ]= ,

解得:t=


【解析】(1)根據(jù)題意求出tanA的值,得到點P在AC邊上時PQ的長;(2)①當點P在AC邊上時,得到點R到直線AC、PQ距離相等,此時0<t<1;②當點P在BC邊上時,由tanB的值求出PQ的代數(shù)式,點R到AC、PQ所在直線的距離相等時t的取值范圍;(3)根據(jù)三角形的面積公式得到點P在AC邊上運動時,S與t之間的函數(shù)關系式;(4)①點P在AC上,且點R在AB的高CH上,得到△PGR≌△RHQ,根據(jù)全等三角形的對應邊相等,得到PG=RH,GR=QH;求出t的值;②點P在AC上,且點R在AC的高BC上時,求出t的值;③點P在BC上,且點R在BC的高AC上時,直接求出t的值;④點P在BC上,且點R在AB的高CH上時,得到△CGP∽△CHB,得到比例,求出t的值;此題是綜合題,難度較大,計算和解方程時需認真仔細.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用相似三角形的判定與性質的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方.

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