Question

如圖，直線y=-

3

4

x+6分別與x軸、y軸交于A、B兩點；直線y=

5

4

x與AB交于點C，與過點A且平行于y軸的直線交于點D．點E從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿x軸向左運動．過點E作x軸的垂線，分別交直線AB、OD于P、Q兩點，以PQ為邊向右作正方形PQMN．設(shè)正方形PQMN與△ACD重疊部分（陰影部分）的面積為S（平方單位），點E的運動時間為t（秒）．
（1）求點C的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)0＜t＜5時，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．并求出中S的最大值．
（3）當(dāng)t＞0時，直接寫出點（5，3）在正方形PQMN內(nèi)部時t的取值范圍．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先根據(jù)題意求得A，B，C，D的坐標(biāo)，然后過點C作CH⊥AD，易得△CPQ∽△CAD，由相似三角形的性質(zhì)，即可求得PQ的值，則可求得S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）配方，即可求得二次函數(shù)的最大值，即是S的最大值；
（3）當(dāng)PQ過點（5，3）時，t最小；當(dāng)N與（5，3）重合時，t最大，根據(jù)題意求解即可．

解答：解：（1）由題意，得

y=- 3 4 x+6 y= 5 4 x

解得：

x=3 y= 15 4

∴C（3，

15

4

）；

（2）根據(jù)題意得：AE=t，OE=OA-EA=8-t
∴點Q的縱坐標(biāo)為

5

4

（8-t），點P的縱坐標(biāo)為-

3

4

（8-t）+6=

3

4

t
∴PQ=

5

4

（8-t）+6=

3

4

t
當(dāng)MN在AD上時，10-2t=t，
∴t=

10

3

；當(dāng)0＜t≤

10

3

時，
S=AE×PQ=t（10-2t），
即S=-2t²+10t
當(dāng)

10

3

≤t＜5時，
S=PQ²=（10-2t）²，
即S=4t²-40t+100
當(dāng)0＜t≤

10

3

時，
S=-2（t-

5

2

）²+

25

2

∴當(dāng)t=

5

2

時，
S_最大值=

25

2

當(dāng)

10

3

≤t＜5時，S=4（t-5）²，
∵t＜5時，S隨t的增大而減小，
∴t=

10

3

時，S_最大值=

100

9

∵

25

2

＞

100

9

，
∴S的最大值為

25

2

．

（3）當(dāng)t=5時，PQ=0，P，Q，C三點重合；
當(dāng)t＜5時，知OE=4時是臨界條件，即8-t=4
即t=4
∴點Q的縱坐標(biāo)為5＞3，
點（5，3）在正方形邊界PQ上，E繼續(xù)往左移動，則點（5，3）進(jìn)入正方形內(nèi)部，但點Q的縱坐標(biāo)再減少，當(dāng)Q點的縱坐標(biāo)為3時，OE=4
∴8-t=4
即t=4，
此時OE+PN=4+PQ=4+（10-2t）=6＞3滿足條件，
∴3＜t＜4，
當(dāng)t＞5時，由圖和條件知，則有E（t-8，0），PQ=2t-10要滿足點（5，3）在正方形的內(nèi)部，
則臨界條件N點橫坐標(biāo)為4?4=PQ+OE=|2t-10|+|t-8|=3t-18
即t=7，此時Q點的縱坐標(biāo)為：-

3

4

×2+7=

22

4

．滿足條件，
∴t＞7．
綜上所述：3＜t＜4或t＞7時，點（5，3）都在正方形的內(nèi)部．

點評：此題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題時要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．