Question

某公司為一工廠代銷一種建筑材料（這里的代銷是指廠家先免費(fèi)提供貨源，待貨物售出后再進(jìn)行結(jié)算，未售出的由廠家負(fù)責(zé)處理）．當(dāng)每噸售價(jià)為260元時(shí)，月銷售量為45噸．該經(jīng)銷店為提高經(jīng)營利潤，準(zhǔn)備采取降價(jià)的方式進(jìn)行促銷．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每噸售價(jià)每下降10元時(shí)，月銷售量就會增加7.5噸．綜合考慮各種因素，每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費(fèi)用100元．設(shè)每噸材料售價(jià)為x（元），該經(jīng)銷店的月利潤為y（元）．
（1）當(dāng)每噸售價(jià)是240元時(shí)，計(jì)算此時(shí)的月銷售量；
（2）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出x的取值范圍）；
（3）請把（2）中的二次函數(shù)配方成y=a（x-b）²+k的形式，并據(jù)此說明，該經(jīng)銷店要獲得最大月利潤，售價(jià)應(yīng)定為每噸多少元？
（4）小靜說：“當(dāng)月利潤最大時(shí)，月銷售額也最大．”你認(rèn)為對嗎？請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：本題屬于市場營銷問題，月利潤=（每噸售價(jià)-每噸其它費(fèi)用）×銷售量，銷售量與每噸售價(jià)的關(guān)系要表達(dá)清楚．再用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最大利潤問題．
（1）因?yàn)槊繃嵤蹆r(jià)每下降10元時(shí)，月銷售量就會增加7.5噸，可求出當(dāng)每噸售價(jià)是240元時(shí)，此時(shí)的月銷售量是多少噸．
（2）月利潤=（每噸售價(jià)-每噸其它費(fèi)用）×銷售量，從而可得出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)（2）的關(guān)系式，利用配方法可求出售價(jià)．
（4）假設(shè)當(dāng)月利潤最大，x為210元．而根據(jù)題意x為160元時(shí)，月銷售額w最大，即可得出答案．

解答：解：（1）由題意得：
45+

260-240

10

×7.5=60（噸）．
（2）由題意：
y=（x-100）（45+

260-x

10

×7.5），
化簡得：y=-

3

4

x²+315x-24000．
（3）y=-

3

4

x²+315x-24000=-

3

4

（x-210）²+9075．
利達(dá)經(jīng)銷店要獲得最大月利潤，材料的售價(jià)應(yīng)定為每噸210元．
（4）我認(rèn)為，小靜說的不對．
理由：方法一：當(dāng)月利潤最大時(shí)，x為210元，
而對于月銷售額W=x（45+

260-x

10

×7.5）=-

3

4

（x-160）²+19200來說，
當(dāng)x為160元時(shí)，月銷售額W最大．
∴當(dāng)x為210元時(shí)，月銷售額W不是最大．
∴小靜說的不對．
方法二：當(dāng)月利潤最大時(shí)，x為210元，此時(shí)，月銷售額為17325元；
而當(dāng)x為200元時(shí)，月銷售額為18000元．∵17325＜18000，
∴當(dāng)月利潤最大時(shí)，月銷售額W不是最大．
∴小靜說的不對．

點(diǎn)評：本題考查了把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，再對二次函數(shù)進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題．