【題目】在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn),BN⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N.

(1)如圖1,若CM∥BN交AD于點(diǎn)M.
①直接寫出圖1中所有與∠MCD相等的角:;(注:所找到的相等關(guān)系可以直接用于第②小題的證明過(guò)程
②過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BN,交BN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,請(qǐng)先在圖1中畫出輔助線,再回答線段AM、CG、BN有怎樣的數(shù)量關(guān)系,并給予證明
(2)如圖2,若CM∥AB交BN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M.請(qǐng)證明:∠MDN+2∠BDN=180°.

【答案】
(1)∠CAD,∠CBN;在圖1中畫出圖形,如圖所示,

結(jié)論:AM=CG+BN,
證明:在△ACM和△BCG中,
,
∴△ACM≌△BCG,
∴CM=CG,AM=BG,
∵∠CMN=∠MNG=∠G=90°,
∴四邊形MNGC是矩形,
∴CM=GN=CG,
∴AM=BG=BN+GN=BN+CG
(2)解:過(guò)點(diǎn)C作CE平分∠ACB,交AD于點(diǎn)E.

∵在△ACD和△BDN中,∠ACB=90°,AN⊥ND

∴∠4+∠ADC=90°=∠5+∠BDN

又∵∠ADC=∠BDN

∴∠4=∠5,

∵∠ACB=90°,AC=BC,CE平分∠ACB,

∴∠6=45°,∠2=∠3=45°

又∵CM∥AB,

∴∠1=∠6=45°=∠2=∠3,

在△ACE和△BCM中,

,

∴△ACE≌△BCM(ASA)

∴CE=CM

又∵∠1=∠2,CD=CD

∴∠CDE=∠CDM

又∵∠BDN=∠CDE,∠MDN+∠CDE+∠CDM=180°

∴∠MDN+2∠BDN=180°


【解析】解:(1)①∵CM∥BN,BN⊥AN,
∴∠CMD=∠N=90°,∠MCD=∠CBN,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACM+∠CAD=90°,∠MCD+∠ACM=90°,
∴∠MCD=∠CAD,
所以答案是∠CAD、∠CBN.
②在圖1中畫出圖形,如圖所示,

結(jié)論:AM=CG+BN,
證明:在△ACM和△BCG中,
,
∴△ACM≌△BCG,
∴CM=CG,AM=BG,
∵∠CMN=∠MNG=∠G=90°,
∴四邊形MNGC是矩形,
∴CM=GN=CG,
∴AM=BG=BN+GN=BN+CG.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解等腰直角三角形(等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形;等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°).

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