已知如圖所示,直線的解析式為,并且與軸、軸分別相交于點(diǎn)A、B。
(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)一個(gè)圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)、半徑為1的圓,以0.4個(gè)單位/每秒的速度向軸正方向運(yùn)動(dòng),問什么時(shí)刻該圓與直線相切;
(3)在題(2)中,若在圓開始運(yùn)動(dòng)的同時(shí),一動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā),沿BA方向以0.5個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng),問在整個(gè)運(yùn)動(dòng)的過程中,點(diǎn)P在動(dòng)圓的圓面(圓上和圓的內(nèi)部)上一共運(yùn)動(dòng)了多少時(shí)間?
解:(1)在中,令,得;令,得,
故得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為A(4,0),B(0,-3)
(2)若動(dòng)圓的圓心在C處時(shí)與直線相切。設(shè)切點(diǎn)為D,如圖所示。
連接CD,則CD⊥AD
由∠CAD=∠BAO,∠CDA=∠BOA=Rt∠,可知Rt△ACD∽R(shí)t△ABO
∴,即,則
此時(shí),(秒)
根據(jù)對(duì)稱性.圓C還可能在直線的右側(cè),與直線相切。
此時(shí),
(秒) 答:(略)
(3)設(shè)在秒,動(dòng)圓的圓心在F點(diǎn)處,動(dòng)點(diǎn)在P處,此時(shí)OF=0.4,BP=0.5,F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為(0.4,0),連接PF。
∵,又,∴,
∴FP∥OB, ∴PF⊥OA
∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0.4,又∵P點(diǎn)在直線AB上,∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0.3-3,
可見:當(dāng)PF=1時(shí),P點(diǎn)在動(dòng)圓上,當(dāng)時(shí),P點(diǎn)在動(dòng)圓內(nèi)。
當(dāng)P=1時(shí),由對(duì)稱性可知,有兩種情況:
①當(dāng)P點(diǎn)在軸下方時(shí),,解之得:
②當(dāng)P點(diǎn)在軸上方時(shí),,解之得:
∴當(dāng)時(shí),,此時(shí)點(diǎn)P在動(dòng)圓的圓面上,所經(jīng)過的時(shí)間為,
答:動(dòng)點(diǎn)在動(dòng)圓的圓面上共經(jīng)過了秒。
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