Question

（2012•建陽市模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊腰長為

5

的等腰直角三角尺ABC放在第二象限，且斜靠在兩坐標(biāo)軸上，直角頂點C的坐標(biāo)為（-1，0），點B的坐標(biāo)為（-3，1），點B在拋物線y=ax²+ax-2上．
（1）點A的坐標(biāo)為

（0，2）

；拋物線的關(guān)系式為

y=

1

2

x²+

1

2

x-2

；
（2）設(shè)（1）中拋物線的頂點為D，求△DBC的面積；
（3）將三角尺ABC繞頂點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，到達(dá)△AB′C′的位置．請判斷點B′、C′是否在（1）中的拋物線上，并說明理由．
【提示：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸是x=-

b

2a

，頂點坐標(biāo)是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）]．

Answer 1

分析：（1）求A點的坐標(biāo)就是求OA的長，可在直角三角形OAC中，根據(jù)AC=

5

，OC=1來求出OA的長，即可得出A的坐標(biāo)．如果過B作x軸的垂線，假設(shè)垂足為F，那么△ACO≌△CBH，OA=CF，BF=OC，由此可求出B的坐標(biāo)；將已經(jīng)求出的A，B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出拋物線的解析式；
（2）根據(jù)（1）的函數(shù)關(guān)系式即可求出D點的坐標(biāo)．求△DBC的面積時，可將△DBC分成△CBE和△DCE兩部分（假設(shè)BD交x軸于E）．可先根據(jù)B，D的坐標(biāo)求出BD所在直線的解析式，進而求出E點的坐標(biāo)，那么可求出CE的長，然后以B，D兩點的縱坐標(biāo)的絕對值分別作為△BCE和△DCE的高，即可求出△DBC的面積；
（3）本題的關(guān)鍵是求出B′，C′兩點的坐標(biāo)．過點B′作B′M⊥y軸于點M，過點B作BN⊥y軸于點N，過點C″作C″P⊥y軸于點P．然后仿照（1）中求坐標(biāo)時的方法，通過證Rt△AB′M≌Rt△BAN來得出B′的坐標(biāo)．同理可得出C′的坐標(biāo)．然后將兩點的坐標(biāo)分別代入拋物線的解析式中，進而可判斷出兩點是否在拋物線上．

解答：解：由題意得
（1）∵AC=，CO=1，
∴AO=

( 5 )2-12

=2，
∴A（0，2），
做BF⊥OC，
∵BC=AC，∠AOC=∠BFC，
∠CAO=∠BCF，
∴△BFC≌△COA，
∴CF=AO=2，
∴B（-3，1）
將B（-3，1）代入y=ax²+ax-2得：
1=9a-3a-2，
∴a=

1

2

，
∴y=

1

2

x²+

1

2

x-2．

（2）如圖1，可求得拋物線的頂點（-

1

2

，

17

8

）．
設(shè)直線BD的關(guān)系式為y=kx+b，將點B、D的坐標(biāo)代入，
求得k=-

5

4

，b=-

11

4

，
∴BD的關(guān)系式為y=-

5

4

x-

11

4

．
設(shè)直線BD和x軸交點為E，則點E（

11

5

，0），CE=

6

5

．
∴△DBC的面積為S_CBE+S_CED=

1

2

×

6

5

×1+

1

2

×

6

5

×

17

8

，
=

15

8

．

（3）如圖2，過點B′作B′M⊥y軸于點M，過點B作BN⊥y軸于點N，
過點C″作C″P⊥y軸于點P．（8分）
在Rt△AB′M與Rt△BAN中，
∵AB=AB′，∠AB′M=∠BAN=90°-∠B′AM-∠AMB'-∠ANB，
∴Rt△AB′M≌Rt△BAN．
∴B′M=AN=1，AM=BN=3，
∴B′（1，-1）．
同理△AC′P≌△CAO，C′P=OA=2，AP=OC=1，可得點C′（2，1）；
將點B′、C′的坐標(biāo)代入y=

1

2

x²+

1

2

x-2，可知點B′、C′在拋物線上．
（事實上，點P與點N重合）

點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形全等、圖形旋轉(zhuǎn)變換等重要知識點；綜合性強，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．