【題目】在等腰RtABC中,∠BAC=90°,AB=AC,在△ABC外作∠ACM= ABC,點D為直線BC上的動點,過點D作直線CM的垂線,垂足為E,交直線ACF.

1)①當(dāng)點D在線段BC上時,如圖1所示,求∠EDC的度數(shù)

②探究線段DFEC的數(shù)量關(guān)系,并證明;

2)當(dāng)點D運動到CB延長線上時,請你畫出圖形,并證明此時DFEC的數(shù)量關(guān)系.

【答案】1)①22.5°;②DF=2CE,.理由見解析; 2)解:DF=2CE;理由見解析.

【解析】

1)①由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠ABC=ACB=45°,求出∠BCM=67.5°,即可得出∠EDC的度數(shù);
②作∠PDE=22.5,交CE的延長線于P點,交CA的延長線于N,證明PD=CD,得出PC=2CE,由ASA證明△DNF≌△PNC,得出DF=PC,即可得出結(jié)論;
2)作∠PDE=22.5,交CE的延長線于P點,交CA的延長線于N,證明PD=CD,得出PC=2CE,由ASA證明△DNF≌△PNC,得出DF=PC,即可得出結(jié)論.

1)解:如圖1所示:

∵∠BAC=90°,AB=AC,

∴∠ABC=∠ACB=45°,

∵∠ACM= ∠ABC=22.5°

∴∠BCM=67.5°

∵DE⊥CM,

∴∠EDC=90°-∠BCM=22.5°;

②DF=2CE.理由如下:

證明:作∠PDE=22.5°,交CE的延長線于P點,交CA的延長線于N,如圖2所示:

∵DE⊥PC,∠ECD=67.5°

∴∠EDC=22.5°

∴∠PDE=∠EDC,∠NDC=45°,

∴∠DPC=67.5°

∴PD=CD,

∴PE=EC,

∴PC=2CE,

∵∠NDC=45°,∠NCD=45°,

∴∠NCD=∠NDC,∠DNC=90°,

∴ND=NC∠DNC=∠PNC

△DNF△PNC中,

,

∴△DNF≌△PNCASA),

∴DF=PC,

∴DF=2CE

2)解:DF=2CE;理由如下:

證明:作∠PDE=22.5°,交CE的延長線于P點,交CA的延長線于N,如圖3所示:

∵DE⊥PC,∠ECD=67.5

∴∠EDC=22.5°

∴∠PDE=∠EDC,∠NDC=45°

∴∠DPC=67.5°

∴PD=CD,

∴PE=EC,

∴PC=2CE,

∵∠NDC=45°,∠NCD=45°,

∴∠NCD=∠NDC∠DNC=90°,

∴ND=NC∠DNC=∠PNC

△DNF△PNC中,

,

∴△DNF≌△PNCASA),

∴DF=PC,

∴DF=2CE.

練習(xí)冊系列答案
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第一步,在CA上作出一點D,使得CD=CB,連接BD.第二步,在CB上取一點Y',作Y'Z∥CA,交BD于點Z',并在AB上取一點A',使Z'A'=Y'Z'.第三步,過點AAZ∥A'Z',交BD于點Z.第四步,過點ZZY∥AC,交BC于點Y,再過點YYX∥ZA,交AC于點X.

則有AX=BY=XY.

下面是該結(jié)論的部分證明:

證明:∵AZ∥A'Z',∴∠BA'Z'=∠BAZ,

∵∠A'BZ'=∠ABZ.∴△BA'Z'~△BAZ.

同理可得.∴

∵Z'A'=Y'Z',∴ZA=YZ.

在數(shù)學(xué)中,利用圖形在變化過程中的不變性質(zhì),常常可以找到解決問題的辦消去.著名美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞在他所著的《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》一書中有這樣一個例子:請問如何在一個三角形ABCACBC兩邊上分別取一點XY,使得AX=BY=XY.(如圖)解決這個問題的操作步驟如下:

第一步,在CA上作出一點D,使得CD=CB,連接BD.第二步,在CB上取一點Y',作Y'Z∥CA,交BD于點Z',并在AB上取一點A',使Z'A'=Y'Z'.第三步,過點AAZ∥A'Z',交BD于點Z.第四步,過點ZZY∥AC,交BC于點Y,再過點YYX∥ZA,交AC于點X.

則有AX=BY=XY.

下面是該結(jié)論的部分證明:

證明:∵AZ∥A'Z',∴∠BA'Z'=∠BAZ,

∵∠A'BZ'=∠ABZ.∴△BA'Z'~△BAZ.

同理可得.∴

∵Z'A'=Y'Z',∴ZA=YZ.

任務(wù):(1)請根據(jù)上面的操作步驟及部分證明過程,判斷四邊形AXYZ的形狀,并加以證明;

(2)請再仔細(xì)閱讀上面的操作步驟,在(1)的基礎(chǔ)上完成AX=BY=XY的證明過程;

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