Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2+ 與y軸相交于點(diǎn)A，點(diǎn)B與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱

（1）填空：點(diǎn)B的坐標(biāo)是；
（2）過(guò)點(diǎn)B的直線y=kx+b（其中k＜0）與x軸相交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作直線l平行于y軸，P是直線l上一點(diǎn)，且PB=PC，求線段PB的長(zhǎng)（用含k的式子表示），并判斷點(diǎn)P是否在拋物線上，說(shuō)明理由；
（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)C關(guān)于直線BP的對(duì)稱點(diǎn)C′恰好落在該拋物線的對(duì)稱軸上，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）（0， ）
（2）

解：∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（0， ），

∴直線解析式為y=kx+ ，令y=0可得kx+ =0，解得x=﹣ ，

∴OC=﹣ ，

∵PB=PC，

∴點(diǎn)P只能在x軸上方，

如圖1，過(guò)B作BD⊥l于點(diǎn)D，設(shè)PB=PC=m，

則BD=OC=﹣ ，CD=OB= ，

∴PD=PC﹣CD=m﹣ ，

在Rt△PBD中，由勾股定理可得PB2=PD2+BD2，

即m2=（m﹣ ）2+（﹣ ）2，解得m= + ，

∴PC= + ，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣ ， + ），

當(dāng)x=﹣ 時(shí)，代入拋物線解析式可得y= + ，

∴點(diǎn)P在拋物線上；

（3）

解：如圖2，連接CC′，

∵l∥y軸，

∴∠OBC=∠PCB，

又PB=PC，

∴∠PCB=∠PBC，

∴∠PBC=∠OBC，

又C、C′關(guān)于BP對(duì)稱，且C′在拋物線的對(duì)稱軸上，即在y軸上，

∴∠PBC=∠PBC′，

∴∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°，

在Rt△OBC中，OB= ，則BC=1

∴OC= ，即P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ，代入拋物線解析式可得y=（ ）2+ =1，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，1）．

【解析】解：（1）∵拋物線y=x2+ 與y軸相交于點(diǎn)A，
∴A（0， ），
∵點(diǎn)B與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，
∴BA=OA= ，
∴OB= ，即B點(diǎn)坐標(biāo)為（0， ），
故答案為：（0， ）；
（1）由拋物線解析式可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，再利用對(duì)稱可求得B點(diǎn)坐標(biāo)；（2）可先用k表示出C點(diǎn)坐標(biāo)，過(guò)B作BD⊥l于點(diǎn)D，條件可知P點(diǎn)在x軸上方，設(shè)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為y，可表示出PD、PB的長(zhǎng)，在Rt△PBD中，利用勾股定理可求得y，則可求出PB的長(zhǎng)，此時(shí)可得出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線解析式可判斷P點(diǎn)在拋物線上；（3）利用平行線和軸對(duì)稱的性質(zhì)可得到∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°，則可求得OC的長(zhǎng)，代入拋物線解析式可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．