Question

如圖，已知P、O₂是⊙O₁上兩點，⊙O₁與⊙O₂都經(jīng)過A、B兩點，PA的延長線和PB分別交于⊙O₂于C、D兩點．求證：
（1）PO₂平分∠APB；
（2）AC=BD．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：證明題

分析：（1）由圓的半徑相等得出AO₂=BO₂，再由O₂在⊙O₁上，可得出

AO2

=

BO2

，由在同一個圓中等弧所對的圓周角相等得出∠APO₂=∠BPO₂，即可得出結(jié)論P(yáng)O₂平分∠APB．
（2）過O₂分別做AC，BD的垂線交AC，BD于E，F(xiàn)，由角平分線的性質(zhì)可得O₂E=O₂F，可證得△CO₂E≌△BO₂F，得出CE=BF，即可得出AC=BD．

解答：證明：（1）∵⊙O₁與⊙O₂都經(jīng)過A、B兩點，
∴AO₂=BO₂
∵O₂在⊙O₁上，
∴

AO2

=

BO2

，
∴∠APO₂=∠BPO₂
∴PO₂平分∠APB
（2）如圖，過O₂分別做AC，BD的垂線交AC，BD于E，F(xiàn)

∵∠O₂PE=∠O₂PF，
∴O₂E=O₂F，
在△CO₂E和△BO₂F中，

∠CEO2=∠BFO2 O2E=O2F ∠CO2E=∠BO2F

，
∴△CO₂E≌△BO₂F（ASA），
∴CE=BF，
∵AC=2CE，BD=2BF，
∴AC=BD

點評：本題主要考查了圓的綜合題，解題的關(guān)鍵利用角平分線的性質(zhì)得出O₂E=O₂F．