Question

19．如圖，點P（x，y₁）與Q（x，y₂）分別是兩個函數(shù)圖象C₁與C₂上的任一點．當a≤x≤b時，有-1≤y₁-y₂≤1成立，則稱這兩個函數(shù)在a≤x≤b上是“相鄰函數(shù)”，否則稱它們在a≤x≤b上是“非相鄰函數(shù)”．例如，點P（x，y₁）與Q （x，y₂）分別是兩個函數(shù)y=3x+1與y=2x-1圖象上的任一點，當-3≤x≤-1時，y₁-y₂=（3x+1）-（2x-1）=x+2，通過構(gòu)造函數(shù)y=x+2并研究它在-3≤x≤-1上的性質(zhì)，得到該函數(shù)值的范圍是-1≤y≤1，所以-1≤y₁-y₂≤1成立，因此這兩個函數(shù)在-3≤x≤-1上是“相鄰函數(shù)”．
（1）判斷函數(shù)y=3x+2與y=2x+1在-2≤x≤0上是否為“相鄰函數(shù)”，并說明理由；
（2）若函數(shù)y=x²-x與y=x-a在0≤x≤2上是“相鄰函數(shù)”，求a的取值范圍；
（3）若函數(shù)y=$\frac{a}{x}$與y=-2x+4在1≤x≤2上是“相鄰函數(shù)”，直接寫出a的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）直接利用相鄰函數(shù)的定義結(jié)合一次函數(shù)增減性，得出當x=0時，函數(shù)有最大值1，當x=-2時，函數(shù)有最小值-1，即-1≤y≤1，進而判斷即可；
（2）直接利用相鄰函數(shù)的定義結(jié)合二次函數(shù)增減性，得出當x=1時，函數(shù)有最小值a-1，當x=0或x=2時，函數(shù)有最大值a，即a-1≤y≤a，進而判斷即可；
（3）直接利用相鄰函數(shù)的定義結(jié)合函數(shù)增減性，得出當x=1時，函數(shù)有最小值a-2，當x=2時，函數(shù)有最大值$\frac{a}{2}$，即a-2≤y≤$\frac{a}{2}$，進而判斷最值即可．

解答 解：（1）是“相鄰函數(shù)”，
理由如下：y₁-y₂=（3x+2）-（2x+1）=x+1，構(gòu)造函數(shù)y=x+1，
∵y=x+1在-2≤x≤0，是隨著x的增大而增大，
∴當x=0時，函數(shù)有最大值1，當x=-2時，函數(shù)有最小值-1，即-1≤y≤1，
∴-1≤y₁-y₂≤1，
即函數(shù)y=3x+2與y=2x+1在-2≤x≤0上是“相鄰函數(shù)”；

（2）y₁-y₂=（x²-x）-（x-a）=x²-2x+a，構(gòu)造函數(shù)y=x²-2x+a，
∵y=x²-2x+a=（x-1）²+（a-1），
∴頂點坐標為：（1，a-1），
又∵拋物線y=x²-2x+a的開口向上，
∴當x=1時，函數(shù)有最小值a-1，當x=0或x=2時，函數(shù)有最大值a，即a-1≤y≤a，
∵函數(shù)y=x²-x與y=x-a在0≤x≤2上是“相鄰函數(shù)”，
∴-1≤y₁-y₂≤1，即$\left\{\begin{array}{l}{a≤1}\\{a-1≥-1}\end{array}\right.$，
∴0≤a≤1；

（3）y₁-y₂=$\frac{a}{x}$-（-2x+4）=$\frac{a}{x}$+2x-4，構(gòu)造函數(shù)y=$\frac{a}{x}$+2x-4，
∵y=$\frac{a}{x}$+2x-4
∴當x=1時，函數(shù)有最小值a-2，
當x=2時，函數(shù)有最大值$\frac{a}{2}$，即a-2≤y≤$\frac{a}{2}$，
∵函數(shù)y=$\frac{a}{x}$與y=-2x+4在1≤x≤2上是“相鄰函數(shù)”，
∴-1≤y₁-y₂≤1，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}≤1}\\{a-2≥-1}\end{array}\right.$，
∴1≤a≤2；
∴a的最大值是2，a的最小值1．

點評 此題主要考查了反比例函數(shù)綜合以及函數(shù)增減性和新定義，根據(jù)題意正確理解“相鄰函數(shù)“的定義是解題關(guān)鍵．